三棱锥外接球（瞬间能找到三棱锥的高和外接球半径！）

原题：在三棱锥S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，AB=1/2SC，且三棱锥S-ABC的体积为9√3/2，则该三棱锥的外接球半径是多少？

图一

要想求出该三棱锥的外接球半径，首先要找到该半径所在的边或者作出该半径所在的线段，然后再利用边和该半径的关系求出该半径的数值。

而题中只给出了三棱锥中各边的关系和三棱锥的体积的数值，没有给出边的具体的数值，所以要想求出该外接球半径的长度，还要先根据三棱锥的体积求出各边的数值。

要想根据该三棱锥的体积求出各边的数值，还要先找到该三棱锥的高。

求出三棱锥的高

三棱锥的高不是固定的，它都有自己对应的面，所以这里要求出的高是要容易得出结果的的高，且它所对应的面也要容易得出结果来。

这里要想找到这样的高和面，要知道这一点：当三棱锥S-ABC中有两个三角形△ASC和△BSC共用一边SC，并且这两个三角形的其他两条边均相等，即SA=AC，SB=BC时，该共用边SC即为该三棱锥的高；分别向共用边SC做这两个三角形的高线AD、BD，则△ADB就是该高SC对应的面。

图二

知道这些知识后，我们根据该题中给出的信息，很快就会找到该三棱锥的高和对应的面积从而求出该三棱锥的边。

设SC=2x，因为AB=1/2SC，则AB=x。

又因为SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，所以△ASC和△BSC都是等腰直角三角形，又共用斜边，所以有SA=AC=SB=BC=√2x，且SC是该三棱锥的高。取SC的中点D，连接AD，BD，因为AD和BD都是等腰三角形的高，所以AD和BD是与SC垂直的，则△ABD是三棱锥高所对应的面。

又因为三棱锥S-ABC的体积为V=9√3/2。

所以根据三棱锥的体积公式有V=1/3×S×h=1/3×S△ABD×SC。

取AB中点E，连接DE，因为△ASC和△BSC都是等腰直角三角形且边长相等，所以它们的高线AD和BD也相等，所以三角形ADB也是等腰三角形，所以DE垂直AB。

因为SC=2x，在直角△BSC中根据勾股定理有BC=√2x，在直角△BDC中根据勾股定理有BD=x，在直角△BDE中根据勾股定理有DE=√3x/2。

图三

S△ABD=1/2·AB·DE=1/2·x·√3x/2=√3x^2/4。

所以三棱锥体积V=1/3·√3x^2/4·2x=√3x^3/6=9√3/2，所以x=3，即SC=3。

求出该三棱锥的边长后，还要找到该三棱锥的外接球半径所在的位置，再根据三棱锥的边长求出其半径长。

找到该三棱锥的外接球半径

要想找到该三棱锥的外接球半径，需要知道这一点：在三棱锥中，有两个不重合的三角形共用一边，且这边所对应的两个三角形的角都是直角，则该共用边就是该三棱锥的外接球直径。

图四

因为三棱锥的各顶点均在外接球上，所以三棱锥中每个直角三角形所对应的斜边就是外接球上的弦，该弦也是这个直角三角形所在面的直径(球的一个截面)。

如果不同面上的两个三角形共用一个弦，也就是两个圆面上的直径重合，则这个弦必为球直径。

因为SB⊥BC，SA⊥AC，所以△ASC和△BSC都是直角三角形，且它们共用斜边，所以SC是三棱锥的外接球直径，即SC=2x=6。

所以得出该三棱锥的外接球半径为3。

图五

总结

知道上述两个知识点后，在做该题时，我们很容易就看出该三棱锥的高和它的外接球的半径所在的直线，为以后做题带来了方便。

高中：已知三角形两边长和第三边上中线长求周长？这隐藏一个已知

p在△ABC内且OP=1，当△APB与△APC面积比最小时求sin∠BAP？啥时最小

高中：过正三棱锥底边上的点作球截面求最小面积，啥时截面最小？

高中：四面体体积最大时求外接球半径？关键找球心，它们什么关系

当三角形的面积取最大值时求边c，判断∠C?其实是运用均值不等式