母亲争取抚养权的证据有：

1、提交孩子年龄方面的证据，如出生证明、户籍证明；

2、提交抚养人身体状况方面的证据，如医院的诊断证明；

3、提交子女随一方生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的证据；

4、提交各自抚养子女有利或不利条件的证据。

【法律依据】

根据《婚姻法》第三十六条，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。