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面面垂直是推不出线线垂直的但是线面垂直能推出来线线垂直即一直线如果垂直某平面则该直线垂直此平面内任一直线;该线所在任何平面也垂直于此平面

线面垂直几何法判定定理

已知l⊥ml⊥nmn⊂αm∩n=E求证：EF⊥α

因为平移不改变角度所以可以通过平移把所有的直线移动到相交于一点的位置来证明

证明：∵l⊥ml⊥n

∴在α内所有与m或n平行的直线都与l垂直

接下来证明那些与mn不平行的直线也与l垂直

取m上AB两点取n上CD两点使AE=BECE=DE

连接ADBC过E作任意一条直线该直线与ADBC交点为GH(稍后将讨论GH与ADBC平行的情况)

取l上异于E的点F连接FAFGFDFBFHFC

∵AE=BECE=DE∠AED=∠BEC

∴△AED≌△BEC(SAS)

∴∠DAE=∠CBEAD=BC

∵∠AEG=∠BEH

∴△AEG≌△BEH(ASA)

∴AG=BHGE=HE

∵EF⊥ABAE=BE

∴FA=FB

同理FC=FD

∴△FAD≌△FBC(SSS)

∴∠FAG=∠FBH

∴△FAG≌△FBH(SAS)

∴FG=FH

又∵GE=HE

∴FE⊥GH

由GH的任意性可知EF垂直平面内任意与ADBC都不平行的直线

当GH∥AD∥BC时可以连接ACBD那么GH必与ACBD相交

之后证明方法同上只需要改字母即可

根据线面垂直的定义l⊥α

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