撰文 | 倪忆
2023年2月7日，以色列沃尔夫基金会宣布了当年度沃尔夫奖得主。其中，杜克大学教授英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）因为她“在小波理论和应用调和分析方面的工作”而获得了沃尔夫数学奖，成为该奖项自1978年设立以来第一位女性得主。至此，数学界声誉最高的三大奖：菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖均诞生了女性得主。其中，菲尔兹奖的女性得主是玛丽亚姆·米尔扎哈尼（2014年获奖）和马林娜·维亚佐夫斯卡（2022年获奖），阿贝尔奖的女性得主则是卡伦·乌伦贝克（2019年获奖）。
英格丽·多贝西丨图源：杜克大学
多贝西曾经创下许多女数学家的纪录。她是普林斯顿大学数学系历史上第一位女性正教授（1994年），是美国科学院数学奖的第一位女性得主（2000年），是国际数学联盟第一位女主席（2011-2014），也是内默斯数学奖第一位女性得主（2012年）。2018年，她成为复旦-中植奖在数学领域的第一位获奖者。
笔者在普林斯顿大学读博期间，多贝西是数学系里两位女教授之一。不过她是应用数学专业的教授，我们数学专业的学生跟她接触不多。印象较深的一件事是，当时普林斯顿大学和罗格斯大学两校数学系每年都会组织接力长跑比赛，沿着运河岸边的步道从一所学校跑到另外一所。普林斯顿这边的组织者是多贝西，所以她每年都会给全系师生发信，呼吁大家积极报名参加。普林斯顿数学系的教授，颇有一些人是一副生人勿近的样子，但也有少数人非常和蔼可亲、平易近人。多贝西就属于后者。她很受学生欢迎，因为她从不为难学生，考试很容易通过。所以应用数学专业的学生喜欢选她当自己博士资格考试的考官。她的同情心不光是用在学生们身上。当时系里有位网管，业务能力很差，差点被解雇。是多贝西坚持要给他机会，让他保住了工作。现任杜克大学教授的莉莲·皮尔斯，至今仍清楚地记得第一次见到多贝西的场景。当时她是普林斯顿大学的一名本科生，经常在空荡荡的机房里写论文。有一天，一名管理员突然过来跟她说，这里是研究生专用的机房，本科生不能使用。年轻的皮尔斯顿时不知所措，整个人都僵在那里，非常害怕，觉得是自己做错了什么事。就在此时，她听到身后有人说：“给她一把钥匙！”为她发声的正是多贝西。笔者亲历过这样一件事。有次，一位罗同学要进行博士论文答辩。到预定的答辩时间，他的导师却因为飞机延误，没法赶到现场。那年月也没个Zoom啥的，都是真人实地答辩。导师来没来倒不重要，也不是非他不可。重要的是，答辩委员会凑不够人数，答辩就没法进行。罗同学便到隔壁公共休息室去，看能不能抓住一位正好过来喝咖啡的教授参加答辩。不一会儿，他就带着满脸笑容的多贝西回来了。有多老师救场，答辩终于能够顺利进行。多贝西在普林斯顿有很多学生，其中女生比例很高。她的不少学生成为学科领军人物，在耶鲁大学、杜克大学、纽约大学、德州大学奥斯丁分校等著名大学任教。跟我有交集的一名台湾学生吴浩榳，在入学前已经获得医学博士学位，有从医资格。他这种背景的学生，在普林斯顿数学系算是相当另类。但多贝西本人也不是数学科班出身，所以对吴同学一视同仁。吴同学后来采用数学方法研究医疗数据，取得了丰硕成果，如今是杜克大学数学系教授。
英格丽·多贝西1954年出生于比利时的一个煤矿小镇。比利时这个国家虽小，却涌现出来过不少数学大师，像证明素数定理并担任国际数学联盟首任主席的德·拉·瓦莱·普桑，菲尔兹奖、沃尔夫奖和阿贝尔奖三料得主德利涅，沃尔夫奖得主蒂茨等等。多贝西从小就擅长数学。当她还是一个小女孩时，晚上睡不着觉，她会数数。但她不是一个个数，而是像1、2、4、8、16这样，每次乘以2。这预示着她未来会与使用二进制的计算机有着不解之缘。日后学术界要给她召开祝寿会议，她不像大多数人那样选择整十的生日，而是选择64岁生日，因为64是2的6次幂。多贝西11岁就学会了多元微积分。在布鲁塞尔自由大学读本科时，她选择的是物理专业，同时也上了许多数学课。她认识的第一个比她更聪明的男生，是她的大学同学让·布尔甘。两人在大学期间就结下深厚的友谊。布尔甘将来会成为分析学的一代宗师，在1994年获得菲尔兹奖。巧合的是，布尔甘和多贝西都对调和分析做出了杰出贡献，而且两人都在普林斯顿小镇上工作许多年。多贝西于1980年在布鲁塞尔自由大学获得理论物理博士学位，随后在普林斯顿大学做了两年博士后，又回到母校任教。1985年，多贝西遇上了一位来自贝尔实验室的应用数学家卡尔德班克（Robert Calderbank），后者当时在布鲁塞尔的飞利浦研究院进行为期三个月的访问。两人很快坠入爱河。多贝西跟随卡尔德班克来到美国，于1986年进入纽约大学库朗研究所担任为期一年的访问学者。正是在库朗研究所，她做出了她最重要的工作——构造多贝西小波。
卡尔德班克丨图源：杜克大学
多贝西与卡尔德班克在1987年结婚，育有两个孩子。卡尔德班克是信息和编码理论的专家，担任过贝尔实验室副总裁，负责贝尔实验室的互联网部门，2005年当选为美国工程院院士。学术界职位较少，如果夫妻两人都在学术界，经常会分居两地。这被称为学术界的“二体问题”。但对于卡尔德班克和多贝西夫妇来说，二体问题并不是那么难解决。1987年，因为小波方面的工作而声名鹊起的多贝西入职丈夫所在的贝尔实验室。1991年起，她在罗格斯大学兼职。1994年，多贝西离开贝尔实验室，成为普林斯顿大学数学系教授。2003年，卡尔德班克所负责的部门被贝尔实验室整个裁掉了。卡尔德班克丢了工作，只好投奔妻子，在普林斯顿大学电子工程系当上教授。风水轮流转，2010年，卡尔德班克被杜克大学聘为自然科学学院院长。这回是多贝西跟随丈夫，离开生活二十多年的新泽西州，前往杜克大学。2014年，剑桥大学想要把多贝西夫妇挖过去。他们给多贝西下了聘书，邀请她担任卢卡斯数学教授，这可是牛顿、狄拉克、霍金担任过的职务！如果多贝西接受，她就将成为卢卡斯数学教席自1663年创立以来第一位女教授。可想而知，为了留住他们，杜克大学需要开出十分丰厚的条件。作为条件之一，杜克大学承诺要将数学系教授中女性的比例提高到30%。他们夫妇就此留了下来。
多贝西（右）担任国际数学联盟主席期间，米尔扎哈尼成为第一位获得菲尔兹奖的女数学家。丨图源：Anthony Bonato's blog
兜兜转转许多年，多贝西终于找到了一个最适合她的大学。虽说普林斯顿大学数学系声名赫赫，但杜克大学让多贝西更有归属感。普林斯顿数学系是一个象牙塔，大部分教授对应用数学并不感兴趣，而理论物理专业出身的多贝西是数学系里少数应用数学家之一。多贝西曾在普林斯顿数学系组织一个委员会，讨论如何扩大数学专业的吸引力。她对委员会同仁们说，这非常重要，因为我们必须挽回数学系的名声。同事们奇怪地问：“什么名声？”多贝西说：“就是我们只对那些已经决定成为职业数学家的本科生感兴趣。”他们反问：“这不是事实吗？”多贝西说那正是问题所在！如果你只对那些将成为职业数学家的学生感兴趣，那么你的数学系的人数应该不会比法国文学系更多。1996年起，多贝西在普林斯顿为非数学专业学生开了一门名为“Math Alive!”的课程。在这门课中，她讲述数学在各个领域的应用，并让学生们用数学推理和具体实例去体验这些应用。例如她会讲到RSA公钥密码，并让学生们真正去破译一些简单的密文。这门课非常受学生欢迎。但当她不在普林斯顿时，就没有教授来教这门课了。普林斯顿的数学教授们并不反对开这门课，——只要不是由他们来教。最后是她以前的一位已经当上牛津大学教授的博士后，每年到普林斯顿访问三个月来教这门课。在杜克，多贝西开设了一门名为“Math Everywhere”的类似课程，得到的体验就完全不一样。有很多教授立刻就表达了教这门课的兴趣，所以她自己已经好几年不需要教这门课。
多贝西是小波分析这一领域的创始人之一。小波分析是传统傅立叶分析的一个推广，是一个对信号进行频谱分析的工具。举个例子，如果我们要分析一个声音信号，可以把这个信号分解为一系列简单的由正弦函数和余弦函数图像表示的波动，这就是传统的傅立叶分析。但正弦和余弦函数有个特点，就是它们非常稳定，所对应的信号不会随时间衰减。在实际应用中，如果声音信号只存在于一个很短的时间窗口内，用正弦和余弦函数就不太方便。
正弦函数和余弦函数的图像丨图源：Mathematica
为了解决科学和工程中遇到的很多实际问题，数学家们在上世纪七八十年代提出了小波（法语ondelette，英语wavelet）的概念。这是一种非常短促的波动，只在一个较短的时间窗口里有较大振荡，离开这个时间窗口振幅就迅速减小，甚至完全没有波动。小波的第一个例子是匈牙利数学家哈尔在1909年提出的哈尔小波，虽然当时还没有“小波”这个词。其定义非常简单粗暴，就是在[0,1/2)区间中为1，[1/2,1)区间中为-1，其余地方都是零。把这一波动图像进行伸缩和平移，得到一系列类似的波动。任何一个信号都能分解成这些波动的和。
哈尔小波的图像丨图源：维基百科
哈尔小波过于简单，仅仅是一个玩具模型，实用价值不大。法国数学家梅耶尔构造出了第一个光滑正交小波基，被称为梅耶尔小波。这是小波理论的一个重大突破，梅耶尔因此（以及其余工作）而获得了高斯奖（2010年）和阿贝尔奖（2017年）。然而，梅耶尔小波在远离时间窗口的时候虽然振幅很小，但并不是完全变为0，这限制了梅耶尔小波的实用价值。
梅耶尔小波的图像丨图源：维基百科
1987年初，多贝西构造出了第一批具有紧支集的光滑正交小波基，被称为多贝西小波。也就是说，她的小波仅仅在一个较短的时间窗口内振动，离开这个时间窗口振幅就变成0。这一特性使得相应的计算变得异常方便，可以很容易用计算机实现。多贝西阅读过很多工程领域的文献，知道工程师们需要什么。她这篇构造多贝西小波的论文，写得像一本工具书。其中有着大量的表格和图像，包含着具体应用所需的各种数据。读者只需看这些图表，就能按图索骥使用小波分析。
一些多贝西小波的图像丨图源：MATLAB help
多贝西小波的诞生使得小波分析成为一门真正具有应用价值的学科，在科学、工程以及日常生活中的信号处理、图像压缩等方面有着广泛应用。我们平时在网络上、电视中看到的各种图像和视频，有很大一部分都采用了小波分析技术。例如常见的JPEG文件格式，其较新的JPEG 2000和JPEG XL标准都采用小波分析来进行图像压缩。所以《纽约时报杂志》的一篇报道中将她称为“数字图像的教母”。多贝西对小波分析的发展居功至伟。除了多贝西小波外，她还与人合作提出了CDF小波。她写的教材《小波十讲》是这一领域的经典著作。美国数学会颁发的斯蒂尔奖中有一项数学阐释奖，多贝西因《小波十讲》一书而在1994年成为该奖的第二届得主。鉴于ChatGPT最近非常火爆，我们在文章结尾附上ChatGPT对多贝西的评价。至于这些评价的水准如何，请读者自行判断。
参考文献
[1] Allyn Jackson, Interview with Ingrid Daubechies, Celebratio Mathematica, 2019.
[2] Siobhan Roberts，The Godmother of the Digital Image, The New York Times Magazine, Sept. 14, 2021.
本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。
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