《平行垂直》中你不可忽略的知识点
一、知识梳理
1、平行线的定义：
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
2、平行的表示：
用符号“∥”表示，读作“平行于” ．
3、同一平面内两条直线的位置关系：
平行或相交．
4、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
5、平行的传递性：
平行于同一直线的两直线平行．
6、平行与角的
若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．
7、垂直定义：
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直．
其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．
两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直．
8、垂直的表示：
用符号“⊥”表示，读作“垂直于” ．
9、垂直公理：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
10、点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
11、垂线段的性质：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
12、垂直与角的
若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．
二、典型例题
例1、概念辨析
(1)两条不相交的直线叫做平行线．
(2)两条直线不相交就平行．
(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行．
(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行．
(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行．
(7) 点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离为5cm．
解析：
(1)错误，必须加同一平面内，否则在立体几何中，会出现异面的情况．比如一个正方体，上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱，所在直线就是既不平行也不相交．
(2)错误，理由同(1)．
(3)正确．
(4)错误，反例如下图：
(5)错误，必须在直线外，否则，如果这个点在直线上，所作直线就与已知直线重合．
(6)正确．
(7)错误，如下图，当点B在B2处，点A到直线l的距离为5cm，当点B在B1，点A到直线l的距离小于5cm．
二、典型例题
例2、
试画图说明平面内三条直线的位置关系．
分析：
我们知道，同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系．那么到了三条直线，就会出现三条都平行，两条平行，都不平行的情况．在三条都平行的情况外，必然有相交的情况，我们可以从交点数来考虑，即有一个，有两个，有三个交点三种．
解答：
二、典型例题
例3、
(1)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC∥OA，交OB于点C，过点P画直线PD∥OB，交OA反向延长线于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？
点P如果在∠AOB内部呢？
(2)如图，P是∠AOB外一点，过点P画直线PC⊥OA，交OA于点C，过点P画直线PD⊥OB，交OB于点D，量出∠AOB、∠CPD的度数，你有什么发现？
点P如果在∠AOB内部呢？
分析：
本题不难，主要是根据要求作图，然后发现度数之间的联系，不是相等就是互补，最后，再关注所研究的两个角的位置关系，发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行，从而得出最后结论．
解答：
(1)
当P是∠AOB外一点，∠AOB＋∠CPD＝180°
当P是∠AOB内一点，∠AOB＝∠CPD
发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．
(2)
当P是∠AOB外一点，∠AOB＝∠CPD
当P是∠AOB内一点，∠AOB＋∠CPD＝180°
发现：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．
三、思维提升
例1、网格作图
(1)利用图(1)中的网格，利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线．
(2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．
(3)如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于______．
分析：
网格作图是今后的重点内容，我们应该引起足够的重视，
(1)对于作平行，有2种作法，第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线．第二种，采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线．
对于作垂直，则和平行相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线．
(2)我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况．
(3)对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和．本题适合用补的方法．
解答：
三、思维提升
例2、垂线段再认识
如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；
(1)请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离．
(2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______．（用“＜”号连接）
分析：
要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离．这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段．
要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离．
解答：
(1)OP，OP的长度是点O到直线PC的距离．
CP，CP的长度是点C到直线OB的距离．
OH，OH的长度是点O到直线PH的距离．
CH，CH的长度是点C到直线PH的距离．
PH，PH的长度是点P到直线OC的距离．
(2)PH＜PC＜OC．
三、思维提升
例3、思考类作图
同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_______条?
分析：
显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条．
到了初三，我们会知道，这三条线就是所画的两个圆的切线．
解答：
如图，三条红色的直线即为所求．
变式
如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有________个．
分析：
我们可以先找线，再确定点，先找出到l1距离为2的直线，到12距离为1的直线，显然，它们的交点，就满足题意．
画图后，不难发现到l1距离为2的直线有2条，到12距离为1的直线有2条，这4条直线两两相交，有4个交点，这4个交点就是"距离坐标"是(2，1)的点．
解答：
如图，到l1距离为2的直线是2条蓝色直线，到12距离为1的直线是2条红色直线，四个交点即为所求．
