一般地，对于函数f （x），如果存在一个常数T（T≠0），使得当x取定义域D内的任意值时，都有f （x T）=f （x）成立，那么函数f （x）叫做周期函数，常数T叫做函数f （x）的周期.对于一个周期函数f （x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数f （x）的最小正周期，接下来我们就来聊聊关于周期函数的定义与意义?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

周期函数的定义与意义

一般地，对于函数f （x），如果存在一个常数T（T≠0），使得当x取定义域D内的任意值时，都有f （x T）=f （x）成立，那么函数f （x）叫做周期函数，常数T叫做函数f （x）的周期.对于一个周期函数f （x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数f （x）的最小正周期

如何正确理解概念中“当x取定义域D内的任意值时，都有f （x T）=f （x）成立”，首先要将其中的“任意”与“存在”类结论进行区分.例如，判断函数f （x）=sinx（x≠0）是不是周期函数.我们知道f （x）=sinx（x∈R）是一个周期为2π的周期函数，然而应当注意到定义域中挖去0后，当x=-2π时，f （x 2π）=f （0）无意义.于是该函数并不是周期函数，因为有一个地方不满足要求，不符合“任意”一词。也就是说，周期性应当是函数的整体性质，并不存在函数局部满足周期性的说法.

而进一步挖掘概念中这句话，我们可以得到一个隐含的条件“若x∈D，则必有x T∈D”.于是就有了这样的结论： “若函数f （x）存在正周期T，则其定义域必定正向无界，也就是自变量的值可以趋向正无穷；若函数f （x）存在负周期T，则其定义域必定负向无界，也就是自变量的值可以趋向负无穷.”于是对于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数而言，其定义域必定可以趋向正无穷和负无穷. 于是在判断一个函数是否为周期函数时，定义域可以作为一个先决的条件.

（1）是否所有的周期函数都一定存在最小正周期呢？ 其实不然，比如函数y=sinx（x≤0），因为满足sin（x-2kπ）=sinx（k∈N * ），所以它有负周期-2kπ（k∈N * ），却不存在正周期，更不存在最小正周期.

那么，如果将这个命题改为“所有存在正周期的周期函数都一定存在最小正周期”，又是否正确呢？其实仍然可以找到反例，比如，常值函数y=1（x∈R），显然任意的正实数都是它的正周期，但不存在最小正周期.

我们不妨再进一步，如果将命题改为“所有存在正周期的非常值函数的周期函数都一定存在最小正周期”，又是否正确呢？ 其实这个命题仍然错误，比如Dirichlet函数：

http://baike.baidu.com/item/狄利克雷函数/951546?fr=aladdin

所有的有理数都是它的周期，自然存在正周期，同时也是非常值函数，然而它还是不存在最小正周期.

（2）若函数f （x）存在周期T，则kT（k为非零整数）一定也是f （x）的周期吗？ 这个命题对于初学的学生来说，是很容易弄错的. 因为如果仅着眼于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数， 那么就无法找到反例.事实上，对于像前面提到的函数y=sinx（x≤0）这样，仅存在负周期而无正周期的函数而言，不难发现，若T和kT都是其周期，命题中的常数k必须是正整数.同样，对于仅存在正周期而无负周期的函数也是如此.

从概念上理解，不难得到周期函数的图像存在这样的特征：若周期T>0（T<0），则函数图像上任意一点向右（左）平移T个单位后仍在该函数图像上.为了辨析理解，笔者在课上设计了两个函数的图像（图1、图2），其实只要理清周期函数的图像特征，不难发现它们都不是周期函数.

至此，我们对于周期函数的图像特征似乎已经挖掘得较为透彻.然而，更多的学生对于周期函数的图像停留在了“周而复始”、 “不断重复” 这样的印象上.那么，周期函数的图像是否一定是学生所认为的“周而复始”、 “不断重复” 呢？ 我们不妨来考查这样一个函数： 我们将周期函数f（x）=|x-2k| （x∈［2k-1，2k 1］，k∈N）的图像仅仅取

...（其中m∈N）的部分，于是就得到了如图3所示的函数图像.从图像上来看，似乎与印象中的“周而复始”、“不断重复”并不吻合，该图像上相邻两段通过平移并不能重合，然而这的确是一个周期函数，满足周期的定义：当x取定义域D内的任意值时，都有f （x 2）=f （x）成立，所以这是一个周期为2的函数.

若定义域为R的函数f （x）、g（x）都是周期函数，那么f （x） g（x）也一定是周期函数吗？ 对于这个命题，甲给出这样的解答：假设函数f （x）的周期为T 1 ，函数g（x）的周期为T 2 ，则有f （x T 1 ）=f （x），g（x T 2 ）=g（x），所以只需取T=［T 1 ，T 2 ］（［T 1 ，T 2 ］为T 1 和T 2 的最小公倍数），那么f （x T） g（x T）=f （x） g（x），所以T为函数f （x） g（x）的周期.如此解答粗看似乎挺有道理，但其实经不起推敲，倘若T 1和T 2 不存在最小公倍数呢， 比如T 1 是无理数，T 2 是有理数，那就找不到这样的周期T了.所以这个命题其实是假命题.同样地，对于两个周期函数作其他四则运算也是如此.

反过来，如2016年上海高考卷第18题，判断命题真假：设f （x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，若f （x） g（x），f （x） h（x），g（x） h（x）均是以T为周期的函数，则f （x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数.这个命题是真命题，因为条件中这三个函数的周期相等，那么它们作四则 运 算 的 结 果 也 都 是 周 期 函 数 .

那么对于两个定义域为R的函数的复合函数y=f （g（x））呢？ 容易发现，若f （x）是周期函数，而g（x）不是，则函数y=f （g（x））不一定是周期函数；若g（x）是周期函数，则无论f （x）是不是周期函数，函数y=f （g（x））一定是周期函数.

反过来，若函数y=f （g（x））是周期函数，那么定义域为R的两个函数f （x）、g（x）是否至少有一个是周期函数呢？ 其实，这还是一个假命题.