题型一、运用图像研究函数零点的个数

知识点拨：运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。

例题 1、定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x＋4)＝f(x)，且在区间 [2，4) 上

【解析】因为 f(x＋4)＝f(x)，可得 f(x) 是周期为 4 的奇函数，先画出函数 f(x) 在区间 [2，4) 上的图像，根据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x) 在 R 上的图像，由 y＝f(x)－log5| x|＝0，得 f(x)＝log5| x|，分别画出 y＝f(x) 和 y＝log5|x| 的图像，如下图，由 f(5)＝f(1)＝1，而 log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3| < 1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57 > 1，可以得到两个图像有 5 个交点，所以零点的个数为 5.

本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

题型二 、根据函数的零点确定参数的范围

知识点拨：求解函数的零点问题的填空题，其基本策略是应用数形结合的方法来加以解决，在应用数形结合思想时，一般地会将函数的零点问题转化为两个函数的图像的交点问题来加以解决，此时，为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是不含参数的函数，另一个是含有参数的函数，即转化为“一静一动”两个函数，这样，通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题的解。

例题 2、

【解析】 注意到 x<－1 时，f(x)＝x2－2ax 的零点是可求的，即 x＝0 (舍去) 或 x＝2a，为此，就需要对 2a 是否小于－1来进行讨论，若 2a 大于或等于－1，则需要 x ≥－1 时，f(x) 有三个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究；若 2a 小于－1，则需要 x ≥－1 时，f(x)有两个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究，进而得到问题的答案．

由 x2－2ax＝0 得 x＝0 或 x＝2a，因为 x<－1，所以 x＝0 不合题意．

题型三、运用函数图像解决多元问题

知识点拨：解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题，要通过函数的图像找到各个参数的关系，但要注意参数的范围。

例题 3、

思路点拨：根据函数解析式，可以结合函数的图象得出 a，b，c 的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.

解题过程：作函数的图象如下：

本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.

题型四、复合函数的零点问题

知识点拨： 本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令 t＝g(x)，f(t)＝0，研究 t 的解的个数，再讨论每一个解对应的 g(x)＝t 的解 x 的个数，常用数形结合的方法来处理．研究高次的方程、不等式通常首先考虑的是能否进行降次，转化为低次的方程、不等式；其次，在研究方程、不等式问题时，要充分注意它与函数的关系，即充分利用它所对应的函数的图像的直观性来研究问题，这往往可以起到化难为易，化繁为简的作用．

例题 4、

函数 g(x)＝f(x)－k(x－3) 恰有 2 个不同的零点，表示函数 y＝f(x)，y＝k(x－3) 的图像有 2 个交点，所以关键是画出函数 y＝f(x) 的图像，将函数 y＝f(x) 在区间 [1，2) 上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长 2 倍，就得到了 y＝f(x) 在区间 [2，4) 上的图像，将函数 y＝f(x) 在区间 [2，4) 上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长 2 倍，就得到了 y＝f(x) 在区间 [4，8) 上的图像，依次类推，然后考察两函数图像有两个交点时直线的斜率．

函数 g(x)＝f(x)－k(x－3) 恰有 2 个不同的零点，表示函数 y＝f(x)，y＝k(x－3) 的图像有 2 个交点．画出 y＝f(x) 和 y＝k(x－3) 的图像，可以看出．当 k > 0 时，当且仅当点 (16，8) 在直线 y＝k(x－3) 的上方且点 (32，16) 在直线 y＝k(x－3) 的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出 16/29 ≤ k < 8/13；当 k < 0 时，当且仅当点(2，1)在直线 y＝k(x－3) 的上方时，两图像有两个公共点，可求出－1<k<0，故所求的实数k的取值范围是 (－1，0)∪[16/29 , 8/13).

这个函数题型难点在于y＝f(x)第二段图像的寻找和画出，其实是图像的平移与变换的应用，注意观察其特征，即可轻易得出后一段图像均为前一段图像的模．纵坐标伸长到原来2倍所得．本题为填空题，也可直接用具体的数去算，发现规律，然后再画出示意图，最后是利用数形结合寻找到符合题意的临界位置，最后进行求解最终的答案．