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直线性质定理

定理1

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 。

已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求证：a∥b

证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，b上。

∵b∈α，∴a∩α=P

与a∥α矛盾

∴a∥b

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

定理2

一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。

已知：a∥α，b⊥α。求证：a⊥b

证明：由于α的垂线有无数条，因此可将b平移至与a相交，设平移的直线为c，a∩c=M，c与α的垂足为N。

∵两条相交直线确定一个平面

∴设a和c构成的平面为β，且α∩β=l

∵N∈c，N∈α，c⊂β

∴N∈l，且由定理1可知a∥l

∵c⊥α，l⊂α

∴c⊥l

∴a⊥c

由于平移不改变直线的方向，因此a⊥b