刑事诉讼过程中回避的提出程序是：

刑事司法人员在立案及以后的诉讼程序中，发现有依法应予回避的情形的，应当自行提出回避。没有自行回避的，当事人和他们的法定代理人有权申请他们回避。

【法律依据】

1、根据《最高人民法院关于适用<中华人民共和国刑事诉讼法>的解释》第二十六条规定，人民法院应当依法告知当事人及其法定代理人有权申请回避，并告知其合议庭组成人员、独任审判员、书记员等人员的名单。

2、《最高人民法院关于适用<中华人民共和国刑事诉讼法>的解释》第二十七条规定，审判人员自行申请回避，或者当事人及其法定代理人申请审判人员回避的，可以口头或者书面提出，并说明理由，由院长决定。院长自行申请回避，或者当事人及其法定代理人申请院长回避的，由审判委员会讨论决定。