一道初中几何题-求两个等边三角形的面积之比

等边三角形ABC内接另一个等边三角形DEF，并且有DE垂直于BC。三角形DEF的面积与三角形ABC面积比是多少？

解：可以证明等边三角形DEF周围的三个三角形是全等的。

这里简单证明三角形DEC全等于三角EFA。这是因为：

∠EDC=90°, ∠ECD=60°, 那么∠DEC=30°

又因为等边三角形DEF的∠DEF=60°，

因此∠FEC=∠DEF ∠DEC=60° 30°=90°

所以FE垂直于AC，这样这两个三角形DEC和三角形EFA的对应角都相等，

而有直角边EF=DE， 根据角边角定理，这两个三角形全等，同理可证第三个三角形DFB也与它们全等。

因此DC=EA， 若设AC=a, ED=b,

在三角形DBC中，根据30°-60°-90°直角三角形的关系有：

DC=(√3b)/3 , EC=(2√3b)/3,

因而a=AC=EC EA

=EC DC

=(√3b)/3 (2√3b)/3

=√3b,

由于三角形DEF相似于三角形ABC，其其面积之比为相似比的平方，而相似比为：

b/a=1/√3

所以面积之比为1/3