对于多项式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一种基本方法是运用公式法．，我来为大家科普一下关于因式分解的12种方法的详细解析?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

因式分解的12种方法的详细解析

对于多项式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一种基本方法是运用公式法．

这里所说 公式是指乘法公式中的平方差公式(a b)(a-b) =a^2-b^2和完全平方公式(a±b)^2= a^2±2ab b^2．运用这两个乘法公式为什么可以进行因式分解呢？因为把这两个公式反过来就是下面两个公式：

a^2-b^2=(a b)(a-b)……（1）

a^2±2ab b^2=(a±b)^2……（2）

公式(1)仍然叫做平方差公式，公式(2)还是叫做完全平方公式，但它们的作用已经彻底变了，原来是用于进行多项式乘法运算，现在是用来进行因式分解．

根据公式(1)、(2)，只要多项式符合公式(1)或(2)左边的条件，我们就可以把它分解为右边的因式相乘．运用公式(1)或(2)进行因式分解的方法就叫做运用公式法．

从公式来看，能运用平方差公式(1)分解的多项式首先必须是两项式，其次是这两项都必须是某个式子的平方，最后还必须是差的形式，即前者平方减去后者平方．这三个条件可以简单记作“两项皆平方，符号恰相反．”

例如，x^2 y^2中，两项虽然都是平方，但它们的符号却都是带正号“ ”，不满足“符号恰相反”的条件，所以不能运用平方差公式分解的．同样地，-x^2-y^2也是不满足平方差公式条件的．

又如，x^2-y中，两项符号虽然相反，但前者平方，后者不是平方，不满足“两项皆平方”条件，所以不能运用平方差公式分解．

当两项式满足平方差条件时，根据公式(1)就可以把它分解为两个因式相乘，这两个因式分别是这两个平方底数的和与差．

例如，x^2-y^2是平方差，平方底数分别是x、y，分解的结果是x、y的和乘以x、y的差，即(x y)(x-y)．

在平方差公式(1)中的a、b，它们所代表不仅仅是单独的字母，也可以是具体的数字，还可以是单项式、多项式等．

在运用平方差公式因式分解时常常需要先对a、b进行简单的变形，化为地地道道的平方差后再分解，同时注意几点几点：

（1）当a或b中有一个是数字时，这个数题目一般不写成平方的形式，此时我们要根据该数的大小把它写成平方的形式，然后再分解．

例如，a^2-4，把4写成4的平方2^2，则

原式=a^2-2^2

=(a 2)(a-2)．

（2）当a、b为单项式时，有时需要先对单项式进行整理为(…)^2这样的平方后再分解．

例如，9x^2-y^2，先把9x^2写成(3x)^2，则

原式=(3x)^2-y^2

=(3x y)(3x-y)．

又如，a^2b^2-1，先把a^2b^2写成(ab)^2，同时把1写成1^2，则

原式= (ab)^2-1^2

=(ab 1)(ab-1)．

（3）当a、b指数为大于2的偶数时，先把它们写成幂的平方差后再分解．

例如，x^4-y^2，把x^4写成(x^2)^2，则

原式=(x^2)^2-y^2

=(x^2 y)(x^2-y)．

（4）当a、b是多项式时，先留括号再整理．

例如，(2x y)^2-(x-2y)^2，分解为两数和乘以两数差时，先把(2x y)与(x-2y)的括号留下，再去括号整理．即

原式=[(2x y) (x-2y)][ (2x y)-(x-2y)]

=(3x-y)(x-3y)．

（5）当“差”的负号“-”在第一项前面时，先把前后两项的位置交换一下．

例如，-m^2 n^2，先把前后项（包括符号）的位置交换，化为n^2-m^2，再分解．即

原式= n^2-m^2

=(n m)(n-m)．

在运用提取公因式法进行因式分解时，我们遇到过公因式提取后，新因式经过整理又出现了新的公因式，此时需要再次提取才算分解完成．在运用平方差公式分解时也会遇到过这种情况，此时我们必须再次运用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止．

例如，a^4-1，第一次运用平方差公式分解为(a^2 1)(a^2-1)后，第一个因式(a^2 1)是不能再分解的，但第二个因式(a^2-1)显然又可以再用平方差公式分解为(a 1)(a-1)．分解过程如下：

原式=(a^2 1)(a^2-1)

=(a^2 1)(a 1)(a-1)．

运用公式法因式分解是在多项式用提取公因式不能时才考虑的方法，因此，当多项式有公因式时一定要先提取公因式，然后再考虑能否用公式继续分解？

例如，分解因式：4a^3-9a．

多项式虽然是两项差的形式，却不是平方差，怎么分解呢?先观察一下这两项有公因式吗？有！公因式是a，因此，先提取公因式a，化为a(4a^2-9)，再考虑新因式(4a^2-9)能否继续分解？

解：原式=a(4a^2-9)

=a[(2a)^2-3^2]

= a(2a 3)(2a-3)．

再如，因式分解：(a-b)a^2 (b-a)b^2.

注意a-b与b-a是互为相反数，它们可以相互转化成公因式，先提取后再看看能否继续分解？

解：原式=(a-b)a^2-(a-b)b^2

=(a-b)(a^2-b^2)

=(a-b)(a b)(a-b)

=(a-b)^2(a b)．

运用平方差公式分解后，有时还会出现有公因式，此时仍然需要把公因式提取出来．

例如，分解因式：(a-3b)^2-(3a b)^2.

解：原式=[(a-3b) (3a b)][(a-3b)-(3a b)]

=(4a-2b)(-2a-4b)

=2(2a-b)·(-2)(a 2b)

=-4(2a-b)(a 2b)．

有些多项式我们所看到的的既没有公因式，也不能运用公式法，怎么分解呢？

例如，分解因式：(a b)(a-2b) b(a-7b).

显然，该多项式没有公因式可提取，也不能运用平方差公式，我们唯一能做的是进行计算、化简，因此，就先把它化简后再确定然后分解．

解：原式=a^2-2ab ab-2b^2 ab-7b^2

=a^2-9b^2

= a^2-(3b)^2

=(a 3b)(a-3b)．

最后再看几个例子：

例1 分解因式：25(a b)^2-9(a-b)^2.

解：原式=[5(a b)]^2-[3(a-b)]^2

=[5(a b) 3(a-b)][5(a b)-3(a-b)]

=(8a 2b)(2a 8b)

=2(4a b)·2(a 4b)

=4(4a b)(a 4b)．

例2 因式分解：27a^3x^2-75ax^4.

解：原式=3ax^2(9a^2-25x^2)

=3ax^2[(3a)^2-(5x)^2]

=3ax^2(3a 5x)(3a-5x).

例3 因式分解：x^5-16x．

解：原式x(x^4-16)

=x(x^2 4)(x^2-4)

= x(x^2 4)(x 2)(x-2)．

练习：把下列多项式因式分解：

（1）8x^2-18．

（2）4m3-9mn^2.

（3）64x^2-36．

（4）(x-1)y^2 (1-x).

（5）a^4-625.

（6）2a^2-1/2.

（未完待续）