本文为“2022年第四届数学文化征文活动

数学在折纸设计中的应用

——单五密铺type 14的精确绘图及折纸设计

作者 : 傅薇

作品编号：095

摘要：有什么作品是可以将数学、铺砌艺术、文化图饰、折纸设计联系起来的吗？有，设计密铺类型的镶嵌折纸。本文将阐述15种单一凸五边形密铺中type 14的折纸设计过程及期间借助强大辅助工具——数学的种种应用。

一、密铺/镶嵌介绍

折纸与数学，密铺与镶嵌，不同的概念，却有着紧密的联系。有人可能会说，密铺/铺砌（tiling）与镶嵌(tessellation)，在数学里是统一的概念（后文会介绍不同之处），都是指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。镶嵌最早可以追朔到大约公元前4000年由苏美尔人用于建造装饰墙，后来逐渐被人们用于铺砌地砖等，其中比较知名的有开罗镶嵌（Cairo tiling）、Marjorie Rice设计被用于铺设美国数学学会（MAA）华盛顿总部大厅地板的versatile图案，以及2020年诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）设计的彭罗斯镶嵌（Penrose tiling）。前两种分属于单一凸五边形密铺中的type 4和type 5，归属于周期密铺；而第三种彭罗斯镶嵌属于非周期密铺。如图所示：

图 1.1: Cairo tiling, Marjorie Rice’s versatile and Penrose tiling.

数学家们善于从现实世界抽象、提炼他们感兴趣的内容，进行研究，进而形成完整的理论，从而这些理论又对这些内容的发展和应用起到了促进作用。密铺/镶嵌就是这些内容之一，形成的理论包括：

平面密铺/镶嵌的分类

表 1: 密铺/镶嵌分类（笔者根据万维百科制表）

图 1.2: 正则（三种）与半正则镶嵌（八种）（中间两图相同）.

2.17种墙纸群/平面对称群

图 1.3: 约翰·康威（John Conway）书中介绍的17种平面对称群.

图 1.4: 彩图版17种平面对称群.

3.多边形单密铺问题

a.任意三角形、任意凸四边形（如：正方形、长方形）、正六边形都可以密铺整个平面，且不规则六边形只有三种可以密铺整个平面。

b.任何边数n≥7的凸多边形都没有单密铺方式。

c.从1918年到2015年，数学家发现了不规则五边形的单密铺方式只有十五种。

图 1.5: 中文维基上的五边形镶嵌介绍.

图 1.6: 15种单一凸五边形镶嵌平面单元介绍.

二、绘制精确图示

2.1type 14介绍及图示分析

1985年，Rolf Stein发现了Type 14，这是21世纪前单五密铺的最后一次新发现，被刊登作为当年《数学杂志》的封面，在MAA出版的书中也有相关介绍。

图 2.1: THE HARMONY OF THE WORLD 和 MATHEMATICS MAGZINE两本书/杂志上有type 14 相关介绍.

笔者在网上搜索到的type 14介绍包含四个公式，有些还给出了具体的角度（近似），但没给出推导方法，于是笔者尝试从头开始分析、推导。并在原来基础上给出了其他必要的角度关系（右图）。

图 2.2: type 14单元介绍及笔者推导出的角度关系.

2.2数学计算求精确解

（为节省空间，笔者将计算过程用图片形式展示：）

图 2.3: 根据type 14的四个公式计算出其单元的各角度.

经过前面的计算，得出了与资料一致的近似角度。但对于折纸来说，近似角度是不行的，想要进行折纸设计，必须在折纸软件里画出精确图示,否则边不重叠、点不重合。

其实，根据上题（图片）中的方程： 也可以用精确边长来表示/限定角度：

根据实际情况取正值，做出各边长后，则角度可确定。

不仅如此，根据上题（图片）中的一次方程还可以换种方法解题，得出同样的结论。（下面第一图中是将该一次方程转化为3AB-2CD=BC ）。经过前面的计算，得出了与资料一致的近似角度。但对于折纸来说，近似角度是不行的，想要进行折纸设计，必须在折纸软件里画出精确图示,否则边不重叠、点不重合。

图 2.4: 求type 14单元角度的两道异曲同工题（笔者出题）.

下面给出两题中第一题的解答，根据解出的边长、角度关系即可画出type 14的单元图示。

图 2.5: 求type 14单元角度的另解.

图 2.6: 根据题解在折纸软件中绘图，角度匹配.

根据计算结果，可以在折纸软件中画出需要的角度（小数点后的数字无限匹配）。下面介绍一下长度的绘制方法（笔者采用第三种方法）。

图 2.7: 绘制长度的三种方式（函数曲线、海螺图、勾股三角形）.

笔者除了前文提到的用来算type 14角度的几道题是自行出题外，还根据type 14的有限条件出过不少题，感兴趣的小伙伴可以一试（如下题）。出题是思路的整理过程，解题是思维的训练过程，一题多解是解题的升级训练，它们都是折纸设计之外的收获。

图 2.8: 根据type 14的已知条件自行出题（额外练习）.

2.3画出精确图示

至此，折纸设计的第一步工序完成，可画出type 14密铺的精确图示。根据着色、分组的不同，呈现出不同的埃舍尔镶嵌画效果。

图 2.9: 两幅type 14密铺图示（埃舍尔效果）.

三、镶嵌折纸设计

3.1镶嵌折纸的概念

前文提到在数学里tiling和tessellation是表示相同内涵的统一概念。但在折纸里却不同。

图 3.1: 《镶嵌折纸》书中关于“镶嵌”及“镶嵌折纸”概念的介绍.

镶嵌折纸是通过对于一张纸进行折叠、扭转令其折痕形成重复性的可简可繁、可平面可立体的几何图案的一种几何设计，起源于伊斯兰艺术。镶嵌折纸重点在于一纸，英文用origami tessellation表示。建筑是对大自然建造活动的延续，而镶嵌折纸又是对建筑图案艺术的纸上延续（从《镶嵌折纸》的书封可窥豹一斑）。

3.2不同分组方式

数学中可将平面图案归纳为17种对称群，折纸设计中也需要考虑类似的对称问题。如何分组才更易于折纸设计。笔者对于这个type 14尝试了很多种分组方法。分组之后再考虑设计每个分组单元，轮番尝试后取最优解。

图 3.2: 为折纸设计笔者尝试绘制type 14不同的分组方式.

3.3基元（lattice）设计、组合尝试

下面的分组设计对应不同的结构基元（lattice）：

图 3.3: type 14单元折纸设计.

而相同的结构基元在数学中是一种画法，在折纸中可能存在不同的设计方法，如下图。权衡每种基元是否可组合作为筛选条件再进入下一环节。

图 3.4: 尝试type 14相同基元的不同折纸设计.

最后，选择出一种能够进行组间匹配的适合的基元折纸设计方法：

图 3.5: 筛选出一种适合的type 14基元折纸设计方案.

设计的折纸基元展开后各单元块的位置（松散结构）与type 14图示中（紧凑结构）的角度、边长关系应保持一致，通过下面两图可以对比、了解一下。

图 3.6: type 14图示（折纸成品预呈现的紧凑结构）.

图 3.7: type 14图示（折纸设计的松散结构）.

3.4 整体设计、画图、折制

经过不同的尝试后，需要综合考量，确定最后的方案。在电脑的折纸软件中绘制设计好的折纸CP图（crease pattern）。绘制无误后，软件会按照图纸自动生成/模拟折叠后的纸张状态（压平状态），呈现出所设计的图案，包括纸张前面（front）、背面（back）和背光（backlit）。

这个作品也可以折制成立体（不压平）状态，无论压平或不压平，它都是我目前十五种单五密铺设计中最简洁的折纸设计手法（有人称之为freeform）。通常镶嵌折纸的成品率（成品图案的纸张有效占比）为40-50%，这种设计成品率极高、设计手法灵活，也是我十年镶嵌折纸中设计成品率最高的一次。

图 3.8: 一纸设计type 14的软件模拟（平面/压平）及立体折纸作品.

折纸设计的精髓可能就是寻找一种适合的单元对称方式，让分布在纸张上的单元块能边对边、点对点地结合，将单元之间的过渡纸层折叠/隐藏起来，最终形成设计好的图案。有些图案有一定之规，如标准的正多边形或一些已有既定模型的图案；然而对于这种单一凸五边形密铺形式的折纸设计，没有锚点，没有定式，灵活多变，无从下手是常态，最后完成只能说是天作巧合。这类设计也许学过群论、组合学、几何学、对称等相关知识后，能驾轻就熟吧。

四、总结

4.1个人成长

折纸设计之路，犹如高空踩钢丝，险象环生，又风景这边独好，令人悲喜交加。每一次新的尝试，都是对未知的挑战，不只需要勇气，还要有一无所获的心理准备和可能一败涂地的结果预判。

当然，它还培养了个人独立思考的能力、发现/解决问题的能力、韧性和耐力，以及突破茧房、扩展思维的能力。折纸设计这片蓝海，令人痴迷、流连忘返。

4.2国际现状

4.2.1国外研究

去年（2021年）国外的纪念马丁•加德纳线上报告中，有两位报告人讲述了密铺/镶嵌的相关内容。一位女报告人Rachel Quinlan讲述了利用一张镶嵌折纸的图案变化（手动改变局部花纹）来展现不同的对称群。另一位男报告人Glen Whitney讲述了如何寻找单五密铺中密铺单元的整数边长。

图 4.1: Rachel Quinlan的密铺群镶嵌折纸报告及笔者仿折她的镶嵌折纸作品.

图 4.2:笔者复刻/破解了Rachel Quinlan报告中的十个折纸作品（第1，2小图的背光图中透光部分朝向不同）.

图 4.3: Glen Whitney的整数边凸五边形密铺报告及五边形模型展示

笔者在单五密铺折纸设计中也碰到过密铺单元的整数边问题，但折纸中不要求所有边长都是整数，因为如果是直角三角形，满足直角边是整数，斜边也自然在纸张预打线的的格点上（比如：正方形、正六边形或其他），同样满足折纸徒手打线的要求。从这点看，我们要求整数边的侧重点不同。

4.2.2本人研究

下图中的对勾部分是笔者这两年来已设计完成的单五密铺的镶嵌折纸项目（每个均为一纸作品）。其中左上角数字表示维基百科上每种类别（type n）因其对称方式（即前文提到的墙纸群/平面对称群）不同（如：P2（2222）、pgg（22*）、cmm（2*22）等）又有所区分的种类数。比如，type 1有7种分类，则折纸作品也要设计7个，全部完成至少27个作品。

图 4.4: 笔者完成的十五种单五密铺中的几个折纸设计(type 10完成1种).

根据前文，相信读者对于不规则多边形密铺图形的镶嵌折纸设计有了一定了解，那么对于某一确定图案来说是否只有一种折纸设计可能？答案是否定的。以上图中type 5（根据对称方式包括两类，笔者称之为普通型和标准型）为例，笔者找到了中外折纸设计者共十二种（普通型5种 标准型7种）设计方法。数学题可以一题多解，折纸设计也可以，是更深层次的思维训练和实践体验。

图 4.5: 中外设计者完成的type 5折纸设计（两种类型共12个作品）.

4.3交叉前行

客观世界通过数学描述上升到理论层面——实践出真知；反之，有意义的数学成果和内涵又在现实世界得到了应用和发展——理论指导实践。密铺从现实铺地砖，到数学，再到艺术、科研、折纸等等，引发了一系列的连锁反映、蝴蝶效应。世界很大，等待我们不断探索；精彩未来，等待我们不断创造。朋友，让我们一起来感悟、领悟、觉悟其中的神奇之处吧。

References

https://www.163.com/dy/article/H23AIAJJ05329086.html

密铺的魅力（公众号：宇宙文明领路人）

https://mp.weixin.qq.com/s/uZPG-JwkguOAGlnQV9XerQ

对称与镶嵌（公众号：宇宙文明领路人）

https://b23.tv/JFJxNgP

什么形状的地板可以铺满整个房间？数学家研究了100年！(b站）

https://www.163.com/dy/article/FV15KHQ90511C4OP.html

凭一己之力做出数学史上4项重要发现的女科学家到底有多强？(公众号:中科院物理所 )

https://mp.weixin.qq.com/s/DArLg41AUL7ieFypMhZBuw

为什么这些图案可以无缝衔接？(公众号：中科院物理所)

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1657051762285238045&wfr=spider&for=pc

永不重复的图案（公众号：中科院物理所 ）

https://www.zhihu.com/question/34916541

如何看待卡西•曼夫妇发现的可无缝密铺平面的五边形？(知乎)

https://mp.weixin.qq.com/s/AYj9GgUmPFsFYT_YVhhZug

美国新发现的「完美五边形」究竟厉害在什么地方？

https://mp.weixin.qq.com/s/6noByQpI8b6V4X6n0bS9ew

平面密铺及五边形密铺的前世今生

https://mp.weixin.qq.com/s/F21iQ5W1HmD3zhiGwJwMeA

铺个瓷砖而已，至于那么烧脑吗？

https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-

20170711/

Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_tilings_of_convex_regular_polygons

Euclidean tilings of convex regular polygons(维基）

https://encyclopedia.thefreedictionary.com/tessellation

tessellation介绍（维基）

https://encyclopedia.thefreedictionary.com/pentagonal tiling

Pentagonal tiling

https://www.jaapsch.net/tilings/#pentagon

tilings

https://m.tw.llhlf.com/baike-開羅五邊形鑲嵌

https://mp.weixin.qq.com/s/EOBg5iv55ZLty6HrOXbRkQ

探秘埃舍尔那些鲜为人知的手稿（前传）：17种平面对称群https://mp.weixin.qq.com/s/0gwp8tXwfo45jOsYhTVN6A

二维对称设计：17种平面对称群中的前11种（公众号：宇宙文明领路人）

https://mp.weixin.qq.com/s/oMJs5Lk9MEFAMjnUVtYQfA

二维对称设计：17种平面对称群中的后6种（公众号：宇宙文明领路人）

https://mp.weixin.qq.com/s/Thv3s1Xz8vPQL4TlYnCklA

17种平面对称群的拼花游戏（公众号：宇宙文明领路人）

https://mp.weixin.qq.com/s/jwzz2ufaYMLvahmtxA6b2Q

使用7种线性对称群进行图案设计（公众号：宇宙文明领路人）

https://mp.weixin.qq.com/s/_xMeSUVWOvsIhGvSfsQQiQ

你以为你真了解晶体？看懂对称群再说（公众号：中国科学院大学）

https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Wallpaper group

墙纸群（维基映像）

https://encyclopedia.thefreedictionary.com/List of planar symmetry groups

平面对称群（维基映像）

https://b23.tv/ItaG5va

【纪录片】《埃舍尔•无限透视》（b站）

https://b23.tv/OUeij9i

【纪录片】《埃舍尔•不可能的艺术》（b站）

https://www.bilibili.com/video/av2444129/

探秘伊斯兰文化的复杂几何图形（b站）

http://www.360doc.com/content/20/1007/15/53615136_939287091.shtml

彭罗斯的拼图游戏

https://mp.weixin.qq.com/s/sQhf56biWUBlZHfRXqkwSw

埃舍尔的平面镶嵌画（公众号：智趣空间）

https://mp.weixin.qq.com/s/ydUl057cQLZfS6oTMDb6Lw

数学与艺术的结合——M.C. Escher 埃舍尔的平面镶嵌画(公众号:智趣空间）

https://mp.weixin.qq.com/s/tCSRruWyc38Ef2ptcclQkw

永恒的对称：阿尔罕布拉宫的回忆（公众号:老顾谈几何）

https://mp.weixin.qq.com/s/zhME-L4CyCp3fUWcqaXNtA

从镶嵌折纸到建筑艺术

https://mp.weixin.qq.com/s/v8EZtIPAYngQquYLhghtSA

永不重复的花纹，不可能存在的图案？

https://b23.tv/7PlH3BT

【orihime技巧汇总-哔哩哔哩】

https://b23.tv/py9pcJM

五边形的应用

已发文章>>

001 阅读《数学的故事》有感

002 我想和数学谈场恋爱

003 数学“化错”中的美

004 让数学思考成为数学课堂的主旋律

005 卢梭的“错”？

006 数学教学案例《找次品》

007 基于优化学生数学思维的高效课堂创建——以等腰三角形的判定一课为例

008 从特殊到一般，引导数学思维

009 数学文化融入家庭教育的研究

010 sin 震荡函数的图像分析

011 四阶幻方的“太极图”性质

012 无理数的定义和实数理论的建立

013 一个容易被忽视的问题——数学文化

014 “双减”背景下初中数学学科的合作学习方式探究

015 中学数学德育渗透的方法与路径

016 《数学的力量》读后感

017 基于数学文化的单元统整教学设计——以“圆的认识与面积”教学为例

018 有助于数的理解的数字圈环

019 以折叠为例，探究生长型数学教学模式

020 我从事数学科普写作的经验与启示

021 在阅读中滋长智慧——读《教育智慧从哪里来》有感

022 学习数学史 做数学的使者

023 开数学文化之窗 启数学文化魅力——阅读《美丽的数学》有感

024 “文学独白”——数学教学因你而精彩

025 如何用多面体三等分正方体

026 HPM视角下《圆的周长》教学设计

027 被误解的“勾股定理”

028 好玩的数学

029 帮小青蛙设计一个井

030 万物的基础——数学——读《从一到无穷大》有感

031 读《孙子算经》鸡兔同笼问题有感

032 HPM视角下高中数学多样化作业的设计

033 攀越高峰的领路人——数学文化

034 我的好兄弟：数学

035 细嗅数学文化之香

036 藤蔓的喜悦

037 物理力学中数学的影子

038 复数外传

039 函数的历史和发展

040 数学文化与我

041 数学之趣

042 探索数学知识背后的秘密

043 数学文化和我的数学学习

044 古代算数几何形体——阳马与鳖臑

045 数学文化与我的数学学习

046 我与数学文化

047 “形象”的数学

048 站在巨人的肩膀上学习数学

049 从数学文化和个人影响的角度剖析对数的历史

050 论数学文化

051 我与数学文化

052 正弦定理的源起与应用

053 数学文化融入初中数学教学的实践与思考

054 给数字爱好者的1个全新的0至9数字思考挑战及应用问题

055 并不需要的“承重墙”与数学课改中的问题 —— 兼与马立平博士商榷

056 奇妙的规律

057 生活中的“家常便饭”——数的表示方法

058 读《黄东坡智慧大讲堂——带你发现数学之美》有感

059 通识教育视角下初中数学思维培养从直观向抽象过渡的研究

060 读《古今数学思想》有感

061 为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？

062 《奇妙的数学文化》读后感

063 数学文化视角下《九宫图的奥秘》教学设计

064 关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨

065 遨游数学星空，体味数学奇妙

066 核心素养下的，数学文化中的美育渗透

067 探寻数学之奇，欣赏数学之美

068 框架思维——读《数学这样学就对了》有感

069 从肌肉记忆到《几何原本》第四公理

070 《数学大世界》读后感

071 除法才是四则运算的基础：兼与马立平博士商榷

072 从“海盗分金”到“囚徒困境”——博弈该如何进行？

073 “0”与“1”的辩证法和数学学习之路

074 感悟数学

075 我的好伙伴：数学

076 一则寓言故事带来的教学启发

077 神奇的数学 ——最大公因数、最小公倍数

078 怎样学好数学

079 “7”真是个神奇的数字

080 《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》读后感

081 梦想中的职业，都与数学息息相关

082 哪⾥有数，哪⾥就有美⸺读《数学之美》有感

083 探索信息技术融入初中数学文化实践活动

084 秦九韶数学案——随机抽样统计推理的反问题

085 第四次数学危机

086 基于三阶魔方的STREAM教学设计

087 趣味家庭作业 引领学生学习

088 数学之道

089 了解微积分后的那些事……

090 不会？不，会

091 一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列

092 在规矩方圆中求索——“圆的认识”的文化育人视界

093 欧拉公式的几何证明与意义