微积分学的产生是人类生产实践和科学技术发展的必然产物，同时也是数学史上最伟大的发明创造之一，而且还是推动其他科学技术发展的动力和不可缺少的工具. 著名的数学家、计算机的发明者冯.诺依曼(Von Neumann,1903 -1957)曾说过:“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.”，今天小编就来聊一聊关于微积分的产生和发展?接下来我们就一起去研究一下吧!

微积分的产生和发展

微积分学的产生是人类生产实践和科学技术发展的必然产物，同时也是数学史上最伟大的发明创造之一，而且还是推动其他科学技术发展的动力和不可缺少的工具. 著名的数学家、计算机的发明者冯.诺依曼(Von Neumann,1903 -1957)曾说过:“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.”

微积分学是微分学和积分学的总称,它是一种数学思想方法，具体来说,‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分.

微积分的发展分为三个阶段：极限概念，求积的无限小分析方法，积分与微分及其互逆关系.其中最后一步是由牛顿(Newton, 1643 -1727)和莱布尼兹(Leibniz，1646－1716)独自完成的.在前面两阶段的工作中，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德(Archimedes, 公元前287- 212)等都做出了各自的杰出贡献.

然而对于这方面的工作，古代中国也是毫不逊色于西方的.比如极限思想在古代中国早有萌芽，这方面成就甚至是古希腊数学都不能比拟的.比如, 魏晋时期刘徽(约公元225 - 295)的“割圆术”；南宋秦九韶(1208 -1268)的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年；北宋沈括(1031-1095)的《梦溪笔谈》中独创的“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”，开创了对高阶等差级数求和的研究.可以说,中国古代数学家们对微积分得以创立做出了巨大的贡献.

微分学主要是从求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极值等问题中发展起来的. 微分学的思想萌芽，可以追溯到古代. 古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德在《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯(Apollonius, 约公元前262 -190)在《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线问题等等. 但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大和极小值问题，但多通常使用数值计算方法(即有限差分方法)来处理，从而回避了瞬时变化率问题.

关于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1630年法国著名数学家费马(1601 -1665)在论文《平面与立体轨迹引论》中，建立了求切线、求极值以及定积分方法，对微积分学做出了重大贡献. 1637年，笛卡儿(Descartes,1596 -1650)在其论文《几何学》中提出的求切线的"圆法". 随后,英国数学家巴罗(Barrow，1630 -1677)1670年在他的著作《几何学讲义》中, 利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的切线斜率. 他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限. 这个方法同现在的求导数过程已经十分相近, 他已察觉到切线问题与求积问题的互逆关系，但执着于几何思维妨碍了他没有发现微积分的基本定理.

在17世纪中叶之前, 数学家们没有足够重视作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系问题. 因此,也就没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，微积分的最终创立后来只能由巴罗的学生牛顿以及莱布尼茨来完成.

微分学或者说微积分学真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴时期，使得整个欧洲社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；同时社会需求急剧增长，也为科学研究提出了大量的现实问题. 这些问题都与运动与变化有关，以往以常量为主要研究对象的古典数学方法已不能满足要求，科学家们需要研究以变量为主的问题，从而最终在17世纪导致了牛顿和莱布尼茨独自创立了微积分学.

首先来探讨牛顿创立微积分学的思路. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯(Wallis,1616 -1703)的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路. 特别是，沃利斯在其著作《无穷算术》中，从算术的角度大大扩展了卡瓦列利(Cavalieri, 1598-1647)的不可分原理, 采用无穷小的方法, 引入了无穷级数和无穷连乘积, 并用级数插入法求出了圆与双曲线的面积. 沃利斯的《无穷小算术》给予牛顿创立微积分学很大的启发. 可以说，沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家.

牛顿是在1664年秋开始研究微积分问题. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在这篇论文中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了"正流数术"（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了"反流数术"；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”.“微积分基本定理”也称为牛顿-莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理.

微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算. 这样，牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系进而将这两类运算逐步统一成一个整体.正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.

在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进和完善自己的微积分学说. 1669年在《运用无限多项方程的分析学》论文中，运用了一个无穷小矩形或者面积“瞬”的概念，并且从单个点的变化率中求出了面积.1671年在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿把变量叫做"流"，变量的变化率叫做"流数"，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的. 而且更清楚地表述了微积分的基本问题："已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系"；以及反过来"已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系".

牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》是在1691年完成的，他在这篇论文里对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，没有将数学量视为由瞬或者很小的部分组成，而是把它们描述为连续的运动，提出了"首末比方法", 首末比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象.因为在物体作位置移动的过程中，每一瞬间具有的速度是自明的,这相当于就是求函数自变量与因变量变化之比的极限. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，在这部著作中包含了他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作.

再来看看莱布尼茨创立微积分的过程. 1672年至1676年期间，莱布尼茨在巴黎工作, 这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家和物理学家惠更斯(Huygens, 1629 -1695)，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡(Pascal,1623 -1662)等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是微分三角形的研究.

1684年，莱布尼茨整理和概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，其中叙述了微分学的基本原理, 认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分,用字母d表示，并得到广泛使用. 还给出了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求切线、极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学《深奥的几何与不变量及其无限的分析》，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含我们现在常用的积分符号以及熟知的牛顿-莱布尼茨公式.

微积分的发明是由牛顿和莱布尼茨独自完成的. 就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿. 牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,并有效地促进了微积分学的发展，受巴罗的“微分三角形”的重要启发,莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系. 将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志.

18世纪以后，微积分得到进一步深入发展, 这种发展与广泛的应用紧密地交织在一起推动了许多数学新分支的产生.在从17世纪到18世纪的过渡时期，推广微积分学说的任务主要是由瑞士著名的数学家家族雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli‎,1654 -1705)和约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)兄弟两人担当的，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 此外法国数学家罗尔(Rolle,1652 -1719),在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理.

18世纪微积分最重大的工作是由瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）作出的.他所发表的《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》称得上是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着.除了伯努利兄弟和欧拉，在18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧洲数学家中，首先应该提到法国学派，其代表人物有克莱洛(Clairaut, 1713-1765)、达朗贝尔(D'Alembert, 1717-1783)、拉格朗日（Lagrange，1736 -1813）、蒙日（Monge，1746 -1818）、拉普拉斯（ Laplace,1749－1827）和勒让德（Legendre，1752 - 1833）等.

此外，对微积分学的发展贡献比较大的欧洲数学家中还有英国数学家泰勒(Taylor, 1685 -1731)和麦克劳林(Maclaurin, 1698 -1746)等. 在这一时期中，微积分主要在以下几个方面深入发展：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化以及微积分严格化的尝试.这些数学家虽然不像牛顿和莱布尼茨那样创立了微积分，但他们对微积分发展同样功不可没，假如没有他们的深入研究与辛勤耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样鲜花灿烂，相反，也许会很快变成不毛之地.

微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始显现成效.特别是,法国伟大的数学家柯西(Cauchy，1789 -1857),他的最大贡献是在微积分中引进了极限概念,把定积分定义为和的“极限”. 柯西最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《无穷小计算教程》(1823)以及《微分计算教程》(1829)，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式.

柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱，向全面的严格化迈出了关键的一步.另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass, 1815 -1897), 他定量地给出了极限概念的“ε-δ”定义，并用创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱.基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号.

通过柯西以及魏尔斯特拉斯的艰苦工作,数学分析的基本概念得到严格的论述.从而结束微积分二百多年来逻辑上的混乱局面,把微积分学从对几何概念,运动和直观了解的完全依赖中解放出来,并使微积分学发展成为现代数学最基础的学科.