n趋向于无穷大时，由于n！不可能等于kπ，因此sinn！为有界量，而1/n1为无穷小量，（-1）^(n-1)为有界量，因此极限是0，假设x=nπ也就是sinx/(x/π)n去正无穷所以x也去正无穷，sinx没有极限，x/π去无穷大，所以原式极限是0。

对于任意的ε大于0，要使|(sinn)/n-0|=|(sinn)/n|<1/n<ε，只需n>1/ε，考虑到n为正整数，取n=[1/ε]，因[1/ε]≤1/ε<[1/ε]+1，故当n>n时，n>1/ε，从而|(sinn)/n-0|<ε，证毕。