什么叫奇函数（什么是函数的奇偶性）

（学习算法必备数学知识）

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下面的基础数学知识涉及很多数学公式，头条号不支持Markdown格式，这些公式编辑起来真是累S我了。如果大家觉得有收获请帮忙点个赞、收个藏之类，这是对几天我写这篇文章的最大鼓励了，谢谢大家！

由于文章较长，头条号的字数限制，文章将分成3部分，本文是第1部分，第2部分内容参考文章末尾的 了解更多。

在机器学习的过程中，用到了很多算法知识，而算法中用到很多推导和计算，涉及到很多初中数学、高中数学、高等数学中的知识。在市面的机器学习书籍中，往往最基础的代数运行、多项式运算、函数等没有涉及，这对很多毕业多年的人来说或数学基础不好的人来说，在学习的过程中并不是很顺畅。而市面也没有一本数学大全将不同的数学知识涵盖起来。因此，笔者梳理了人民教育出版社的初中数学、高中数学，同济大学出版的高等数学中算法学习相关的16个知识点，方便学习和复习。

数学包括对数量（数论/算术）、结构（代数）、空间（几何）、变化（分析）的研究，还包括逻辑、集合、应用数学等方面的研究。

01、初中数学 - 数论中的数学概念

- 整数：正整数，0，负整数统称为整数

- 分数：正分数，负分数统称为分数

- 有理数：整数和分数统称为有理数（rational number)

- 相反数：正负的两个数互为相反数(opposite number)

- 倒数：一个数x与其相乘为1的数，即为1/x，其中x!=0

- 无理数：无限不循环小数叫无理数，包括正负无理数，如很多数的平方根或立方根是无理数。如。

- 实数：有理数 + 无理数统称为实数。包括正实数 + 负实数。对应平面上的横轴。

- 虚数：将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数（形如a+bxi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i²=-1。a为实部，b为虚部），虚数无算术根。对应平面上的纵轴。

- 复数：实数 + 虚数称为复数。

02、初中数学 - 整式乘法

1、多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、平方差公式

formula for the difference of squares：两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

3、平方和公式

formula for the square of the sum：两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。

4、因式分解

a²−b² = (a+b)(a−b)

a²+2ab+b² = (a+b)²

a²−2ab+b² = (a−b)²

一元二次方程求解

Polynomial,由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。

单项式：仅由一项构成的多项式称为单项式
常数项：一项中不含未知数

示例
x²+3x−4 为三项一元二次多项式
x³+2y²−4z 为三项三元三次多项式

应用
1、多项式的加减乘除
2、多项式的矩阵乘除
3、因式分解
4、多项式方程、函数

多项式在推导计算算法复杂度用得较多。

集合在算法图论中用得较多。

把对象称为元素(element)，把元素组成的总体叫集合，简称集(set)。如果两个集合的元素相同则两个集合相等。

a属于集合记作：a∈A

a不属于集合B记为：a∉B




1、集合的表示

列举法：把集合里的所有元素一一列举出来，并用 {} 括起来表示集合的方法。如：{a,b}

描述法：无法用列举法表示的无穷个元素的集合，利用集合中元素的共同特征来表示的方法。如：{x∈R|x<10}




2、集合的关系

1）子集
对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是B中的元素，则称集合A为B的子集。记作：A⊆B 或 B⊇A

韦恩图(Venn)：平面上封闭曲线的内部代表集合。

子集韦恩图：




2）真子集
如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。记作：A⫅B 或 A⫆B




3）空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)。记作：∅




3、集合的基本运算

1）并集
由所属集合A及所属集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作：A∪B。或：A∪B={x|x∈A,或x∈B}










2）交集
由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作：A∩B。即:且A∩B={x|x∈A,且x∈B}










3）全集
一个集合包含研究问题中涉及的所有元素，则该集合为全集(universe set)，记作U。




4）补集
对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，记作：CUA，即：且CUA={x|x∈U,且x∉A}











07、高中数学 - 充要条件

充要条件在算法的推导论证中需要用到。

1、真命题

若p，则q，即由p可以推出q，记作：p⇒q。

p是q的充分条件(sufficient condition)

q是p的必要条件(necessary condition)

2、假命题

若p，不能得出q，即由p不能得出结论q。记作：p⇏q

3、逆命题

“若p，则q” 中的条件p和结论q互换，得到一个新的命题 “若q，则p”，则该命题为原命题的逆命题。

4、充要条件

“若p，则q” 中的条件p和结论q互换，得到一个新的命题 “若q，则p”，均为真命题，即：p⇐q，又 q⇒p，记作：p⇔q。

此时 p即是q的充要条件，也是q的必要条件，则说p是q的充分必要条件，简称充要条件(sufficient adn necessary condition)

5、全称量词

短语 “所有的”、“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词(universal proposition)。用符号：∀ 表示。

含有全称量词的命题称为全称量词命题(universal proposition)。

对于M中任意一个x, p(x)成立，记作：∀x∈M, p(x)

6、存在量词

短语 “存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，用符号：∃ 表示。

含有存在量词的命题称为存在量词命题(existential proposition)。

存在M中的元素x，p(x)成立，记作：∃x∈M,p(x)

7、全称量词的否定

∀x∈M,p(x)
否定：
∃x∈M,¬p(x)

8、存在量词的否定

∃x∈M,p(x)

否定：∀x∈M,¬p(x)

08、高中数学 - 函数

函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。

设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系 f, 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称f: a→B为从集合A到B的一个函数(function)。记作：y=f(x),x∈A。其中：

x:自变量

x的取值范围叫做函数的定义域(domain)

与x值对应的y值叫做函数值，也是函数的值域(range)。即{f(x)|x∈A}

1、开闭区间

研究函数时常会用到区间的概念，设a,b是两个实数,而且a<b

(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]
(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].

实数a与b都叫做相应区间的端点这些区间的几何表示如下所示，在数轴表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),"∞”读作"无穷大”,"-∞”读作"负无穷大”,”读作"正无穷大”




2、函数的表示

函数可以用坐标线表示。

3、单调性与最大值、最小值

单调性：利用函数图像研究函数值随自变量的增大而增大（或减少）的性质叫函数的单调性。

单调递增：设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 < x2时, 都有 f(x1) < f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。

增函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increase function)

单调递减：设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 > x2时, 都有 f(x1) > f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。

减函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(increase function)




单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减, 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间

最大值：
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)≤M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最大值( maximum value).

最小值：
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)>=M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最小值( minimum value).

4、奇偶性

偶函数(even function)：设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I, 且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).

奇函数(odd function）：设函数f(x)的定义域为I, 如果x∈I,都有一x∈I, 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数( odd function)

08、高中数学 - 幂函数

幂函数：形如的函数，都是以幂的底数为自变量，指数为常数，这些函数称为幂函数(power function)。




09、高中数学 - 指数函数1、n次方根

如果  ，则x叫做a的n次方根，其中n>1且  。a的n次方根用符号： 

表示根式：  叫根式(radical)，n为根指数，a叫被开n次方。




n为奇数、偶数时n次方根计算：

- 当n是奇数时, 正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. 这时, a的n次方根用符号表示  .

- 当n是偶数时, 正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数. 正数a的正的n次方根用符号

 表示, 负的n次方根用符号-  .表示, 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±  (a>0).

负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作0=0.




性质
1. 
2. 
3. 
4. 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义
5. 
6. 
7. 

2、指数函数

函数且叫指数函数(exponential function)，其中x为自变量，定义域为R。




1) 函数y=a(a>0,且a≠1)的图象.由于底数a可取大于0且不等于1的所有实数,所以不妨用一端圆定于y轴的水平线段PA的长度来表示底数a的值, 即点A的横坐标xA显示的就是a的取值

2) 如图1,从左向右拖动点A(0<xA<1),则xA的值逐渐增大,当xA 的值越来越接近于1时,图象就越来越接近于直线y=1;当xA=1时,图象就是直线y=1; 继续向右拖动点A(xA>1),如图2,图象发生了变化.




指数函数乘除

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。




10、数列、导数、定积分、微积分、矩阵等

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作者简介：阿里巴巴高级技术专家，一直关注前端和机器学习领域相关技术。关注我持续给你带来更多深度硬核技术干货。