“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”（伽利略）

1946年，ENIAC的问世宣告电子计算机时代的来临.ENIAC是为了满足美国奥伯丁武器试验场弹道计算而研发的. 该计算机惊人的运算能力使得数学家们“受宠若惊”，要知道在这之前的几百年间，进行复杂的计算还不得不依赖基于 “对数表”的手工计算.

这是一次革命性的尝试，就像16世纪对数的发明一样，它们都改变了人们对于计算的认识，并使运算变得比之前更容易.那古人是如何进行数学运算的呢？看一个简单的例子：

16世纪以前人们只能依靠纯粹的、大量的复杂乘除/开方运算，这样会耗费他们很多的时间。有没有方法可以简化“乘除/开方”运算呢？三角学在古阿拉伯时期已经发展成熟，数学家们经过探索自然能发现：“积化和差”公式可以将“乘除关系”转化为“加减关系”.这是一个很好的想法，因为加法运算比乘法运算要好算得多。

但这样一个公式并没有被普及开来，虽然当时对于三角函数的运用已比较娴熟，但是无论对于寻找原函数、还是涉及到多个乘除运算时，这样的公式都很复杂.

不同的人对于不同的事物有不同的理解，“积化和差”公式到了16世纪著名数学家纳皮尔这里却成了宝贝。他不照搬公式但洞穿了这个公式的本质——“乘法”变“加法”，并将其运用到自然级数与几何级数的对应关系上.

为了更好理解纳皮尔的想法，我们先来看一个朴素的想法：

如果要计算8*32=？。如表一，

我们只需要找到8所“对应”的指数3

及32所“对应”的指数5，

并将其相加得到3 5=8

再返回去找出8所“对应”的幂256.

就可得到8*32=256.

再来一个难度大一些的，我们要计算

59049*1594323=?

如表二，注意到59049“对”的指数为10，

1594323“对”的指数为11，

两者相加10 11=21，

再找到21“对”的幂为10460353203.

因此59049*1594323=10460353203.

从上面两个例子我们可以看到，这样一个“对应”的计算方法可以巧妙的将“乘法”变“加法”，进而大大简化运算。而且计算的关键在于制作类似上面的这样一张“表”.将一个数与它的幂相“对应”，但是不同的底会有不同的计算方式，如何选择一个高效实用的底数呢？

应该以那个数作为底？纳皮尔思之再三，最后决定：为了使得幂增长较快，并尽量避免小数的出现，他选择了1-1/10^7，即0.999 999 9。并从10^7开始，依次计算得到

作为第一张表. 紧接着，以1-1/10^5等为底又继续作了另外3个表.这样的4张表合在一起，形成了数学史上第一份“对数表”.

就是这样一份简单的“对数表”，纳皮尔却用了整整20年时间。很不可思议吧，身在21世纪的我们简直无法想象：仅用最简单的工具——纸和笔，是如何完成这样一份高强度、精度又高要求的工作的.这让我想起了我国著名数学家祖冲之将圆周率π计算到小数点后7位，网上很多人说这有什么了不起的，国人就喜欢拿领先世界几百年说事，但真的是这样的吗?

“哥伦布的鸡蛋”告诉我们，不要用我们现在的思维理解过去的事情，因为我们之所以觉得很简单，是因为发现者已经告诉了我们是这样的，但如果现在它仍然悬而未决，我们就知道自己的无知了。

对纳皮尔我们应该以十分严肃的态度表示尊敬，他对计算进行了彻底的改革，这一改革以迅雷不及掩耳之势传遍欧亚. 作为东方霸主的大清帝国，18世纪初也在东方传教士的传播中知晓了“对数”的运算法则，并予以翻译为“对数”。

对数(logarithm)愿意为“比数”，即等比数列各项中公比的次数.清代传入我国后，根据《数理精蕴》下篇卷38记载：“对数比例，乃西士纳皮尔所作。以假数与真数对列成表，故名对数表....”

纳皮尔的“对数表”很精细，但是这样一个对数系统不利于性质的研究.

比如我们熟知的对数运算定理（乘积的对数等于各自对数的和）就不成立.

尽管尚有不足，但是纳皮尔的“对数表”一经发表就受到狂热的追捧，很多天文学家（如开普勒）从中受益。而当时英国的著名几何学教授布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)闻讯后更是亲自拜访了纳皮尔.建议使用10代替1-1/10^7作为底数，并将1的对数值定义为0（注意到，纳皮尔对数系统中，10^7的对数值为0）.这就相当于N=10^m（或，m=lgN）.

这样的改变使得对数更简洁适用，让纳皮尔没有办法拒绝。紧接着布里格斯便开始编制这样的新对数表，并于1624年发表在他的《对数的算术》一书中，此表300多年来只被改动了一点点，并一直延用到21世纪.

有了对数表，现在让我们一起来解决前文提出的问题：

首先，两边取对数，得到

查表得到：lg493.8=2.6935, lg23.67=1.3742, lg5.104=0.7079.计算得到lgx=1.578. 再次查表得x=37.84.

对数的用途在这样的一个计算中扮演了重要的角色，但是这已经是被改良后计算方式。对数诞生于16世纪，经过17世纪的发展，但要直到18世纪（1727年）才成为了现在的样子. 没错，这依旧归功于我们常提起的著名数学家欧拉.

欧拉

对数和指数是独立的个体吗？它们之间有没有更密切的关系？大神欧拉告诉我们，对数与指数具有互逆关系。用符号表示为：

对数的发现先于指数，但同时“对数又源于指数”。两者为不可分割的整体。

1617年之前纳皮尔发现了“对数”，1637年法国数学家笛卡儿提出了“指数”的概念，1770年欧拉将这两者完美统一，到现在“对数”已从计算的工具逐渐延伸到数学多个领域（如酸碱度PH值、人口模型等），成为了研究数学的必不可少。

笛卡尔

对数因计算而生，随着电子计算机的普及，对数之于计算的核心位置已渐渐被计算机所替代，但对数并没有因此而消亡。正如Maor在《e的故事——一个常数的传奇》中所说：

就算对数失去了在计算中的核心地位，对数函数仍然是几乎所有数学分支的核心，无论是纯数学还是应用数学，它出现在从物理学、化学到生物学、心理学、艺术和音乐的各种实际应用中。

参考文献：

[1]. Eli Maor. e的故事——一个常数的传奇.人民邮电出版社.2010.7

[2]. 汪晓勤.HPM:数学史与数学教育.科学出版社.2017.5