无限的存在（无限之刀锋女皇）原创哆嗒数学网2020-04-16 10:12:48

本文作者，Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

翻译作者，清风掠旷野，哆嗒数学网翻译组成员。

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如果能够到达宇宙的边缘，我们会看到什么呢？这个问题很难想像，因此我们很容易得出这样的结论：宇宙没有边界，所以它必定是无限的。但是，这并不是一个必然的结论。有些东西虽然是有限的，但它们却没有边界，比如球面。它具有有限的面积，但当我们在这个球面上走的时候，却永远也不可能遇到边界。宇宙究竟是有限的还是无限的，这个问题目前尚无定论，并且这两种可能性都有相应的数学模型支持。更一般地，宇宙中是否存在任何无限的量，这是一个很深奥的问题。2013年四月份，哲学家、宇宙学家和物理学家们齐聚剑桥大学，针对这一问题进行讨论、交流。这次会议是宇宙学哲学的系列会议之一。

我们无需害怕的无限

人类很早就开始研究无限以及它与现实的关系。“物理学上对无限的研究肇始于亚里士多德”，剑桥大学宇宙学家约翰・D・巴罗（John D · Barrow）介绍说，“亚里士多德对两种类型的无限进行了清晰的划分。他称其中一种为潜在的无限，并且非常乐意允许这种无限存在于对世界的描述中。这就像一张永远到不了最后一行的清单。自然数是一个很好的例子：1，2，3，4，5 …… ，这样，这张清单可以一直列下去 —— 它是无限的。但你永远也无法接近到这个无限。宇宙可能有无限的尺寸，它可能有无限久远的过去，它可能注定有无限长的寿命。但这些都是潜在的无限，所以没必要对他们产生恐惧。潜在的无限更像是‘没有限制’的另一种说法 —— 它们是没有边界的，就像那张清单上的数。”

尽管大多数人很乐意接受“潜在的无限”的存在，我们仍然不知道它是否真的存在。“当我们望向宇宙深处，我们的目力所及是非常有限的。因为宇宙已经存在了 140 亿年，”开普敦大学的宇宙学家乔治・埃利斯（George Ellis）解释道，“宇宙中最快的速度是光速，所以我们最多只能看到 140 亿光年远的地方，它稍微有点远，但基本上就是这样。我们完全没有机会看到无限远的地方。那就像从地面上的一座灯塔向外望去，我们可以看到地平线，但却无法看得更远。在地球上我们可以做飞机去到地球另一边。但是在宇宙中，它的尺寸实在是太大了，以至于我们无法像在地球表面上那样移动。我们卡在了我们所在的这个点上，所以只能够从这个点望向宇宙，触及到有限远的地方。”

但尽管是埃利斯提到的有限的过去，宇宙所经历的 140 亿年更像是一种修辞，而非一种确定的说法。我们知道宇宙现在在膨胀，所以如果回溯它膨胀的历史，我们会到达一个时间上的特殊点 —— 大爆炸。我们认为这个点是宇宙的开始。但是，物理学界公认的广义相对论和量子力学都不适用于这一时刻。目前有一系列的理论可以用来描述这一时刻的状态，但没有哪一个是确信无疑的。“一些理论认宇宙不存在开端，而另一些承认它的存在”，埃利斯说，“基本上我们是只是在做有根据的猜想。我们无法开展可以验证这些理论的实验，因为无法获得足够大的能量。”

尽管描述大爆炸当时的情况的超出了当前理论的范围，但已经有一种描述大爆炸之后很短时间的情况的模型被广泛接受 —— 膨胀理论。加州大学圣克鲁斯分校的教授安东尼・阿吉雷（Anthony Aguirre）认为，它能够告诉我们一些关于宇宙尺寸的信息。“膨胀理论认为，在非常早期的时候，宇宙按指数形式进行膨胀，所以它在非常短的时间内膨胀了大概 2的100次方倍。在该理论研究的早期，人们发现，膨胀理论给出了一系列暗示性的预测。其中一部分已经被证实，另一部分仍然需要实验进行验证。这使得我们对膨胀理论更加信服，但它也有非常有趣的副作用。”

其中的一个副作用是，在宇宙的不同区域中，膨胀的速率可能是不同的。在有些区域，指数膨胀很快就停止了，产生了一片可观测的宇宙，比如我们所处的区域。在其他的区域，由于宇宙组成的空间变化，膨胀会永远进行下去。我们拥有无限的时空，并不是因为我们假定时空是无限的，而是因为我们认为有一个过程自然地导致了时空的无穷限，”阿吉雷说，“我认为那是一个非常有趣的区别，因为我们可以从其他途径检测这一过程”。如果检测的结果能够让我们相信这就是宇宙的真相，那么时空的无限特性就是一个自洽理论的推论。

有趣的是，相关理论也暗示时空的尺寸还依赖于我们的观察位置。在广义相对论中，爱因斯坦告诉我们，时空其实是密不可分的，所以才有“时空”这个词 （spacetime）。如果我们想要单独地提及时间或者空间，就必须从数学上把它们分解开。“即使是像‘空间是有限的还是无限的’这样的问题，也依赖于我们如何单独地定义时间和空间”，阿吉雷解释说，“只存在‘时空’，这是爱因斯坦告诉我们的。我们可以采用许多方式把它分解成时间和空间。它们从根本上来说都是有效的，并且针对任意一个我们考虑的特定实验都能给出相同的结果。但它们仍有着不同的物理意义，并且对于某一特定的目的而言，一些分解比另一些更分解更为方便。”

“如果真的存在一个无限的‘时空’，那么总会存在一些方法让我们能够把它分解开，使得宇宙看起来是有限的，同时它正在膨胀。它可能永远膨胀下去，最终变成无限大，但是在任何一个时间点上，它还是有限的。同时，我们还可以把这同一个‘时空’按另一种方式分解，使得它在任何一个时刻具有无限的空间。这样它就是一个无限的、膨胀的宇宙。” 在一个膨胀的宇宙中，如果膨胀停止，那么就存在一种最自然的分解时空的方式，这种方式使得宇宙接近于一种均匀的状态（即我们所说的平坦的宇宙），并给出一个空间上无限的宇宙。“膨胀理论很自然地导致一个均匀和无限的宇宙。这样的宇宙会演化出我们所看到的东西。如果我们能够发现暗示性的证据，证明这样一个丰富的、多层面的、有趣的无限宇宙，这真的是太好了。”

实实在在的无限

宇宙的尺寸是否是无限的，这一问题涉及到亚里士多德提到的一种无限 —— 潜在的无限。这种无限我们可以想象得到，但无法真正地看到。亚里士多德提到的另一种无限是“实实在在的无限”。在接下来的讨论中，我们考虑的情况是，局部化的东西、我们可以实实际际测量的东西，变成无限。实在无限产生的一种情况是黑洞内部。当一个大质量恒星向它内部坍缩，并且没有什么能够阻止它时，黑洞就形成了。相关理论表明，这会导致在某一点上产生无限的质量密度。这样的无限在宇宙中存在吗？

“黑洞并不一定是个固体实体，它只是宇宙中的一种面”，巴罗解释道，“如果我们跨过这个面进入黑洞内部，就再也出不来了。因为摆脱黑洞的引力需要比光还快的速度。（黑洞的形成）实际上就是一大堆东西坍缩在一起，它们的密度变得越来越大。最终在它们周围会形成一种面，我们称为‘视界’。当我们进入到一个巨大黑洞（比如相当于太阳质量 10 亿倍的黑洞）的视界内部，情况其实就和这间屋子里差不多，没有什么特别的地方。但如果你想试着返回或者离开，你会发现你做不到。黑洞中心的密度会继续无限制地变大。在黑洞的外面，我们看不到里面的任何变化，它被隐藏起来了，它的效果被视界隔离了，视界内部的黑洞无法影响到它外面的宇宙。”

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无穷的画廊--数学家如何思考无穷

作者：[美]理查德·伊万·施瓦茨

当当

“很久之前，罗杰・彭罗斯（Roger Penrose）提出了一个被称为‘宇宙审查制度’的猜想。该猜想认为，如果奇点或者无限大真的在宇宙中存在，并且没有什么东西可以阻止它们，那么它们也将永远被困在视界之内。并不存在人们称之为‘裸奇点’的东西，所以并不存在任何能够影响视界之外的我们的宇宙的无限。这一猜想已经在很多情形下得到证明，但距离普遍证明还差很远。这是一个非常困难的数学问题。”

可能存在于我们的世界之中的另一种无限是无限小，或者说是，无限可分。如果我们有一把无比精准的尺子和一支铅笔，是否可以将一条直线段永远地划分成更小的线段，得到我们想要的尽可能小的线段？

埃利斯认为这样的想法非常荒谬。“如果我们把手指分开 10 厘米，并且真的认为手指之间有一条实实在在的点组成的线，那么在手指之间就会有无数个点。那完全是不切实际的。我认为实在无限只是一个数学概念，而非与物理世界相对应。理查德・费恩曼（Richard Feynman）说，如果他必须留下点什么给年轻一代的话，他会留下一句话，‘物质是由原子组成的’。我们有理由相信，对于时空来说也存在相似的说法 —— 时空是由最基本的‘时空的原子’组成的。如果我们把手指分隔开，手指之间确实会有大量的作为物理实体的点存在，但它们并不是无限的，也不是不可数的”

如果时空是由不可分的最小单元构成，那就必定存在一个最小的长度尺度。物理学理论确实支持这个观点。这些理论将这一比任何物体都小的长度称为普朗克长度。它的尺寸大概是10的-35次方：这个数的小数点后面有 34 个 0。现代观测仪器无法达到这样小的分辨率精度。并且从理论上来说，即使我们有能够达到这一精度的仪器，我们也无法测量任何尺寸小于普朗克长度的物体。

宇宙热狗

埃利斯对各种无限进行了重要区分。一方面，存在数学概念上的无限，例如，直线是无限可分的；另一方面，物理概念上的无限关注的是自然界中存在或不存在的真实的数量或现象。但实际上还有一种我们可能最熟悉的无限。

“如今我们要区分数学意义上的无限、物理意义上的无限，和神学家、哲学家谈论的超验的无限”，巴罗说道，“这种超验哲学是大街上的普通人非常熟悉的。如果你向他们提到无限，他们会认为他们知道你在说什么。那就像是神秘主义者对热狗推销员说的：给我做一个包含一切的热狗（双关含义是让我与一切融合，原句为 make me one with everything）。”

“在许多宗教传统中，‘一切事物的总和’可能与上帝或者宇宙的终极存在有着相同的含义。这与物理学家和数学家试图去处理的那种更加具体的事物不同。当我们回顾思想史、数学史和物理学史时，会发现，有人信仰数学上的无限；有人信仰物理学上的无限；有人怀疑任何其他形式的先验无限。将这些对不同类型无限的信仰与怀疑进行组合，我们得到了 2³=8 种不同的选择。”

对无限的意见确实存在分歧。巴罗和阿吉雷都很乐意接受数学意义上的无限，但都没将物理意义上的无限拒之门外。“发展一种包含‘无限’这一概念的实用理论是完全没有问题的”，阿吉雷解释说，“作为有限的个体，我们只能体验到整个宇宙中有限的一部分。但原则上，我找不出任何理由来限制宇宙应该是有限还是无限的。”

另一方面，埃利斯并不相信物理意义上的无限的存在。他指出在与物理有关的数学论证中使用无限大会带来潜在的问题。他提到了数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert）的一个思想实验：假如我们有一座有无数间房间的旅馆，并且这个旅馆住满了客人。但是如果我们请住 1 号房间的客人换到 2 号房间，2 号房间的客人换到 3 号房间 …… 依此类推，每一个房间的客人都换到后一个房间下榻，那么这个旅馆的 1 号房间就又可以再住进新的客人 —— 这就产生了一个悖论：因为不存在最大的数，所以这个旅馆的 1 号房间总是可以住进新的客人，并且保证每个人都有住的地方。

由于这样的悖论的存在，我们在物理情境下使用“无限”概念的时候要非常小心。“有时当人们谈论无限时，他们其实指的是一个非常非常大的数。他们实际上是把‘无限’作为这个非常大的数的一种暗语。这种情况下，推测一下这个非常大的数是多少，并且只谈论这个大数而不是无限，会更有益处。有时候人们谈论无限，其实是指它的深层含义 —— 会产生悖论的那种含义。如果一个物理学论证或其他证明依赖于这样矛盾的依据，那它就是一个错误的论证，并且应该被其他更切实的论证取代。”

总之，关于物理世界中无限的存在性之争尚无定论。在缺乏具体的科学解答的情况下，寻求哲学的帮助便在情理之中。“重要的是让物理学家和哲学家在一起交流”，阿吉雷说，“我的许多物理学家同事都对哲学家有一种印象 —— 认为他们根本不了解物理学，他们在谈论、批判物理学，但他们却对物理学却不甚了解。或许过去有些哲学家是这样，现在有些哲学家也是这样。但和我交流讨论的哲学家们确实是真的了解物理学。我把他们视为思考这些基本问题的专家。相比于更倾向于经验主义和实用主义的物理学家来说，他们能够从更大的和不同的视角来看待这个问题。这一点是非常难能可贵的。”

以下是本文的精彩评论

评论一

关于无限的本质：从整数说起 ……

这是个非常深奥和严肃的问题。关于无限，有许许多多基本问题需要解决，其中的一部分可能有助于阐明关于无限的更深层次的性质。

举个简单的例子，比如整数。作为一个单一实体，它必定包括了“所有的整数”。这里需要注意，这是对一类具有某一特定性质的数的统一集合的一种描述方式。在这种单一实体的“整数”的概念下，从外部（即把“整数”视为一个整体）是不存在能够分辨出单个数字的特定结构的。这是无限的不可计算本质。

这也正是这类无限悖论的源头所在。如果所有的整数都有了，那么这个结构就完整了，它就成为作为整体的所有整数的一种性质，就像类维度的域一样。所以一方面来说，我们有一个统一的无限域，一个无限的单一实体。在这个域中，只有所有单独的的整数被看作一体时，这个无限才是统一的。另一方面，把“整数”的内容看作单独的一个个整数，这些整数的数量是无限多。这样就又出现了悖论。有趣的是，在这种无限的观点看来，似乎存在着类似“波粒二象性”的悖论。

希尔伯特旅馆是对“无限”的边界的另一种解释。这种解释基于“无限”内部的基本组成部分。它假定没有对大小的限制，所以我们可以无限制地增大整数 —— 这是一个不确定性的、无限的边界的局部视图。“类维度”的视角则是把整数的无限看作是所有整数的一个完整的、固定的、无法计算的属性。

以上我所给出的关于整数无限性的描述创造出了一种有趣的观点。作为类维度实体的整数的无限性质代表了一种状态的改变 —— 从单个整数的视角转变为作为统一整体的整数的视角。这种无限指代整数的性质，因而是无法计数的实体。作为单个数的整数却是可数的，尽管是无限的。

评论二

守恒定律与 0 的关系

能量守恒定律告诉我们，能量不能被创生，也不能被消灭。所以今天存在的能量并不是被创造出来的，也不会被消灭。它只会通过熵继续演化。能量守恒与 0 的关系取决于我们对 0 的定义。如果 0 表示“无”，即什么也没有，那它是无法在我们的现实物理世界存在的。因为我们无法在一个只有真实存在的实体的世界里观测和解释“无”。我们也知道，空间本身是在膨胀的，所有我们能够探测到的能量都在运动，所以它们总是有大于0的值。

当我们将 0 值赋予现实生活中的某个物体时，它就不再存在。一个质量为 0 的物体具有 0 能量，即它是没有能量的。它不会与光量子产生相互作用，因为它没有内禀属性 —— 没有运动，没有与光的相互作用，没有正、负电荷，甚至没有电中性 …… 换句话说，它本身并不存在。

1-1=0 是为了对不存在的物体进行数值上的测量而提出的一种显然的概念。如果某物不存在，并且我们无法测量有多少该物不存在，则我们认为该物的值为 0。关于物质的事实是，无论我们说我们没有多少量的某物，实际上总还是有一些的 —— 或者按数学上的说法，某物的量大于0。

评论三

0，无限，以及其他

关于上一位参与者努力寻找的无限和 0 之间的联系我非常赞同。这两个符号有一个共同的特点，它们都被用来指代某一数量，但其实并不是这样。只要我们不允许那必然的和故意刁难人的矛盾烦扰和取笑我们，就像它们对康托尔（Cantor）做的那样，这其实并不一定就是个棘手的难题。

正如，匿名者不是名字、无家可归不是地址、无国籍是不算是国籍，0 和无限也不能算是一种数量。有时候我们可能需要把上述这些词记下来，要求别人提供这些条目的信息。我们简单地否定了这些请求赖以存在的假设，因此也就否定了按原样回答它们的可能性。类似地，对于“你收入多少？”的回答“ 0 ”，对于“我要干多久？”或者“有什么限制？”的回答“无限期（没有限制）”，这样的回答并不是给予定量化的回答，而是一种含有拒绝意味的回答。

在该网站的其他讨论“自然法则”这一概念的地方，我认为这一表述本身也包含了故意引发的矛盾。即使是诙谐幽默的矛盾修饰法也不会因为它的字面意义而使我们感到疑惑，因为它其实暗含着相反的含义，或者说它表面所指代的事物的不存在性 —— 这大概是一条法则。

文中，乔治 ・埃利斯说，“如果一个物理学论证或其他的证明依赖于这种悖论式的论据（比如希尔伯特的旅馆），那它就是一个错误的论证，并且应该被别的更合理的论证取代。”我建议（去寻找）悖论出现的第一个地方。

评论四

奇点、无限密度、无限高的温度？？

我不是物理学家，更像是一个神秘主义者和化学家，当我听到有人把奇点描述为具有无限高的温度和密度的物体时，我想，这怎么可能。或许他们只是指超过我们人类有限经验的特别高的温度和密度。此外，或许是不相关的东西，我听说如果一个人沿着一条直线在宇宙中前进，他最后会回到起点。如果这是真的，那么当一个奇点爆炸的时候，一开始所有的能量都沿直线发射出去。这是不是意味着总有一天，宇宙中所有的物质都会返回万物起源的奇点？然后是这一过程的无限循环。

评论五

有用的怪物

“对数学家而言，无限只是简单的一个没有限制的数。但对物理学家而言，无限却是非常可怕的怪物。”加来道雄教授（那个有个长长的银色头发的人）在由黑洞的张量方程导出无限的时候说道。当距黑洞中心的距离为 0 时，无限就会出现。“它意味着引力在黑洞中心是无限大的。在这里时间停止，空间失去了意义。它意味着我们关于物理宇宙的一切认识都崩塌了。在现实世界中是不存在这样的无限的。所以在爱因斯坦理论的公式中存在一个根本性的瑕疵。”（来自 BBC 纪录片 “Who’s afraid of a big black hole”, Horizon, YouTube）

无限的不可能性解释了相对论的中心命题，并使其成为可能 —— 不可能给一个有质量的物体加速，使得它的速度达到光速。所以，它也算是一个有点用的怪物啦。

丹尼尔・法桥（Daniele Faccio）正打算在赫瑞瓦特大学大学他的实验室中建造一个迷你黑洞。这个地方是所有前沿物理学的藏身之处。（来自“Strip the cosmos: Black Holes”，YouTube）

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